図形の移動 第４２問 （久留米大学附設中学 受験問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（久留米大学附設中学　受験問題　2012年　算数）

　　　　 難易度★★★☆

下の図のように、１辺の長さが２ｃｍの正方形ＡＢＣＤ が、

１辺の長さが４ｃｍの正方形ＥＦＧＨ にくっつけて置いて

あります。この状態から、正方形ＡＢＣＤ を正方形ＥＦＧＨ の

周りをすべることなく時計回りに回転させて１周させます。

このとき、次の問に答えなさい。

　　　　　　

（１）最初の状態から頂点Ａ が頂点Ｅ にくるまでに、正方形

　　 ＡＢＣＤ の対角線ＢＤ が動いてできる図形の面積を

　　 求めなさい。

（２）最初の状態から辺ＡＢ が辺ＥＨ にくっつくまでに、正方形

　　 ＡＢＣＤ の対角線ＢＤ が動いてできる図形の面積を

　　 求めなさい。

（３）正方形ＡＢＣＤ が正方形ＥＦＧＨ の周りを１周して元の

　　 位置に戻るとき、正方形ＡＢＣＤ の対角線ＢＤ が動いて

　　 できる図形の面積を求めなさい。

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解答

　（１）頂点Ａ が頂点Ｅ にくるまでに対角線ＢＤ が動いてできる

図形は、下の図１の黄色い扇形になります。

　　　　　　

この面積は、対角線ＢＤ×対角線ＢＤ×３．１４×９０/３６０

なのですが、対角線ＢＤ の長さは与えられていません。

正方形ＡＢＣＤ の面積から、対角線ＢＤ×対角線ＢＤ を

求めると、

　 対角線ＢＤ×対角線ＢＤ ÷２＝ 正方形ＡＢＣＤ の面積＝４

なので、対角線ＢＤ×対角線ＢＤ ＝８ ということがわかります。

よって、求める扇形の面積は、

　 ８×３．１４×９０/３６０＝６．２８ｃ㎡ です。

　（２）辺ＡＢ が辺ＥＨ につくのは、図１の状態から、下の図２の

状態になったときです。

　　　　　　

このとき、新たに増える対角線ＢＤ が動いてできる図形は、

下の図３のように、頂点Ａ から対角線ＢＤ へは対角線の交点Ｐ

が最も近く、頂点Ｂ，Ｄ が最も遠いので、辺ＡＢ を半径とした

扇形から、ＡＰを半径とした扇形を除いた青い部分となります。

　　　　　　

下の図４の赤い部分と緑の部分は、図の対称性から面積が等しく

　　　　　　

増えた分の面積は、（ＡＢを半径とした半円－ＡＰを半径とした半円）

＝２×２×３．１４×１８０/３６０ － ＡＰ×ＡＰ×３．１４×１８０/３６０

と表せます。

ここで、式から、ＡＰ×ＡＰ＝（ＢＤ÷２）×（ＢＤ÷２）＝ＢＤ×ＢＤ÷４

または、図形から、ＡＰ×ＡＰ＝正方形ＡＢＣＤの面積の２分の１

ということから、ＡＰ×ＡＰ＝２ と求められます。

よって、増えた分の面積は、

　（２×２－２）×３．１４×１８０/３６０＝３．１４ｃ㎡

なので、最初の状態から、辺ＡＢ が辺ＥＨ にくっつくまでに

対角線ＢＤ が動いてできる図形の面積は、

　６．２８＋３．１４＝９．４２ｃ㎡ です。

　（３）正方形ＡＢＣＤ が正方形ＥＦＧＨ の周りを１周して元の位置

に戻るまでを図に描くと、下の図５のようになり、

　　　　

黄色い部分、青い部分が共に４個ずつあることがわかります。

黄色い部分１個と青い部分１個の合計は、（２）の９．４２ｃ㎡

よりも、下の図６の緑の部分が少なくなっています。

　　　　　　

図６の緑の部分の面積は、

　 ２×２×３．１４×９０/３６０－２×２÷２＝１．１４ｃ㎡ です。

よって、対角線ＢＤ が動いてできる図形の面積は、

　（９．４２－１．１４）×４＝３３．１２ｃ㎡ です。

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