反射 第５問 （大阪星光学院中学 2010年（平成22年度） 入試問題 算数）

問題　（大阪星光学院中学　2010年　入試問題　算数）

　　　 　難易度★★★★

１辺１０ｃｍの正方形ＡＢＣＤの囲いがあり、頂点Ｂから玉を

打ち出すと、一定の速度で囲いのＰ→Ｑ→Ｒ→Ｓ→Ｔ→Ｕ→・・・

の順に反射をくり返しました。玉がＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄのいずれかの

頂点にちょうど着いたところで止めます。このとき、次の問に

答えなさい。

（１）ＡＲの長さは４ｃｍでした。ＢＵの長さを求めなさい。

（２）上の図の青い部分の面積を求めなさい。

（３）玉はどの頂点で動きを止めるか答えなさい。

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解答

　（１）【反射するものは延長線を書く】のがコツです。

頂点Ｂから発射された玉は、点Ｒの位置に移動するまで、

直線で表すと下の図１のようにＢＥの長さを移動したことになります。

　ここで、ＡＥの長さ＝ＢＣの長さ＋ＦＰの長さ＋ＡＲの長さ

　　　　　　　　　　 　 ＝１０＋１０＋４＝２４ｃｍ です。

　同様にして、点Ｒから点Ｕまで移動した長さは、下の図２のように

ＲＨの長さになります。

　すると、ＲＤの長さ＋ＴＧの長さ＋ＢＵの長さ＝２４ｃｍ になるので、

６＋１０＋ＢＵの長さ＝２４ｃｍ より、

ＢＵの長さ＝８ｃｍ とわかります。

　（２）図３のようにＰＱとＳＴの交点を点Ｖ、ＢＰとＴＵの交点を点Ｗ

とすると、三角形ＢＰＱ、三角形ＴＶＱ、三角形ＢＷＴは相似です。　

四角形ＰＶＴＷの面積は、

　三角形ＢＰＱの面積－（三角形ＴＶＱの面積＋三角形ＢＷＴの面積）

から求めることにします。

　　　

図１の三角形ＡＢＥと三角形ＡＱＲが相似なことを利用して

ＡＢ：ＡＥ＝ＡＱ：ＡＲ より、ＡＱ＝５/３ｃｍ と求められ、

同様に三角形ＡＱＲと三角形ＢＴＵが相似ことを使用して、

ＢＴ＝ＡＱ×２＝１０/３ｃｍ とわかるので、

ＱＴ＝１０－（５/３＋１０/３）＝５ｃｍ、ＢＱ＝２５/３ｃｍ となります。

よって、ＢＱ：ＢＴ：ＴＱ＝２５/３：１０/３：５＝５：２：３ より、

三角形ＢＰＱ、三角形ＢＷＴ、三角形ＴＶＱの相似比が５：２：３

なので、その面積比は、５×５：２×２：３×３＝２５：４：９ です。

求める四角形ＰＶＴＷの面積：三角形ＢＰＱの面積の面積比は、

　　　　２５－（４＋９）：２５＝１２：２５ なので、

四角形ＰＶＴＷの面積は、三角形ＢＰＱの面積の１２/２５、

すなわち、２５/３×１０÷２×１２/２５＝２０ｃ㎡　となります。

　（３）三角形ＡＢＥにおいて、ＡＥ＝２４ｃｍであることから、

玉は下の図４のように反射をくり返していくので、玉の動きが

止まるのは、２４ｃｍ×□＝１０（正方形の１辺）の倍数となる

ときです。

すると、２４×５＝１２０ｃｍ なので、Ｂから発射された玉が、

辺ＡＤと辺ＢＣに５回目にぶつかるときに移動を止めることが

わかります。

５回目というのは、下の図５のように（はね返る場所は適当でよい）

辺ＡＤ側ということがわかります。

では、頂点Ａ，Ｄのどちらで動きを止めるか調べると、

図４のように、Ａ→Ｄ→Ａ→Ｄ→Ａ→・・・の順に並び、

１２０ｃｍ移動するので、１辺１０ｃｍの正方形が１２個あり、

図５のように数字を書いていけば、１２番目＝偶数番目

なので、頂点Ａで動きを止めることが簡単にわかります。　

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