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2012年4月 5日 (木)

数の性質 第66問 (99の倍数) (光塩女子学院中等科 2010年(平成22年度) 算数入試問題)

 

問題 (光塩女子学院中等科 2010年 算数入試問題)

     難易度★★★

 

 整数には次のような性質があります。

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【1】 それぞれの位の数の和が9の倍数となるとき、その整数は

    9の倍数である。

【2】 「右から奇数番目の位の数の和」 と 「右から偶数番目の位

    の数の和」 の差が11の倍数となるとき、その整数は11の

    倍数である。

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このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)111111111 は、99の倍数かどうか答えなさい。

(2)7ケタの整数 26□△607 について、□と△にあてはまる

   数の組を考えます。ただし、□と△には、0から9までの整数

   が入り、□は△より大きいとします。また、答えが□=1、

   △=0 の組と、□=2、△=1 の組の場合、

       (□、△)=(1,0)、(2,1)と書くものとします。

  (ア)26□△607 が9の倍数になるとき、□と△にあてはまる

     数の組をすべて答えなさい。

  (イ)26□△607 が99の倍数になるとき、□と△にあてはまる

     数の組をすべて答えなさい。

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解答

 (1)99=9×11なので、99の倍数かどうかの判断は、

9でも11でも割り切れるかどうかで可能です。

 

111111111の各位の数の和は、1×9=9 なので、9の倍数。

111111111の右から奇数番目の位の数の和は、5

           右から偶数番目の位の数の和は、4

 なので、5と4の差=1なので、11の倍数ではありません。

 

よって、111111111は99の倍数ではありません。

 

 (2)(ア)26□△607が9の倍数になるには、

2+6+□+△+6+0+7=21+□+△=9の倍数

となればよいことになります。

 

21+□+△=9の倍数 の条件を満たす9の倍数は27と36で、

    □+△=6または15

となる□と△の組を求めればよく、□は△より大きいことに注意して

 (□、△)=(6,0)、(5,1)、(4,2)、(9,6)、(8,7)

の5組があることがわかります。

 

 (2)(イ)26□△607 について、

 右から奇数番目の位の数の和=7+6+□+2=15+□

 右から偶数番目の位の数の和=0+△+6=6+△

で、□が△より大きいので、この差は

  (15+□)-(6+△)=9+□-△=9+(□-△)

となります。これが11の倍数になるには、

 □-△=2 になればよいことがわかります。

(ア)の5組で、この条件を満たすのは、(□、△)=(4,2)です。

 

 

 光塩女子学院中等科の過去問題集は → こちら

 光塩女子学院中等科の他の問題は → こちら

 

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