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2012年4月27日 (金)

規則性の問題 図形 第22問 (筑波大学附属駒場中学 2008年(平成20年度) 受験問題 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2008年 受験問題 算数)

     難易度★★★★

 

長方形の紙にまっすぐな線を、1本ずつ重ならないように

描きます。たとえば、まっすぐな線3本を下の図1のように

描いたとき、交点の個数は3個です。

    Pic_2759q

(1)まっすぐな線を4本描いたとき、交点は最も多くて

   何個できますか。

(2)まっすぐな線を何本描いたとき、100個以上の交点が

   できますか。描いた本数として、考えられるもののうち、

   最も少ない本数を答えなさい。

 

次に、下の図2のような、1回折り曲げた線を考えます。

長方形の紙に折り曲げた線を1つずつ重ならないように

描きます。2つの折り曲げた線でできる最も多い交点の

個数は4個で、たとえば下の図3のように描いた場合です。

    Pic_2760q

(3)折り曲げた線をいくつか描いたとき、100個以上の交点が

   できました。折り曲げた線を何個描きましたか。考えられる

   個数のうち、最も少ない数を答えなさい。

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解答

 (1)4本の線を描いたときは、図1の3本すべてと交わるように、

下の図4のような線を引けば、最も交点が多くなり、6個です。

    Pic_2761a

(2)線と交点の規則について考えると、

線1本 → 1本しかないので、交点0個

線2本 → 1本目と交わるので、交点1個

線3本 → すでにある2本と交われば、交点2個増える。

線4本 → すでにある3本と交われば、交点3個増える。

線5本 → すでにある4本と交われば、交点4個増える。

のようになるので、交点の数は、

 1+2+3+4+5+・・・ となっていきます。

この合計が100個以上になるのは、

 1+2+3+・・・+13=91個 で、

 1+2+3+・・・+14=105個 となったときです。

よって、最後に14個の交点が増える、15本目の線を

引いたとき、100以上の交点ができます。

 

 (3)図3に、3個目の線を加えて、交点の数を最も多くするには、

下の図5のように、8個増えるようにすることです。

    Pic_2762a

図3 → 図5 では、すでに4本あると考え、4×2=8個の交点が

増えます。

図5に、さらに4個目の折れ線を加えて、交点の数が最も多くなる

のは、すでに6本の線があると考え、6×2=12個の交点が

増えるときです。

 

このように、交点の個数は、4→12→24と増えていき、

 5個目の折れ線を描くと、交点は、24+16=40個

 6個目の折れ線を描くと、交点は、40+20=60個

 7個目の折れ線を描くと、交点は、60+24=84個

 8個目の折れ線を描くと、交点は、84+28=112個

となるので、8個の折れ線を描くと、交点の数は100個以上に

することができることがわかります。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

(1)の答えは1+2+3=6で6個ですね。

投稿: 万打無 | 2012年4月27日 (金) 17時58分

万打無さま、コメントありがとうございます。

ご指摘のとおり、解答に誤りがありましたので
訂正させていただきました。

またお気づきの点などございましたら
コメントよろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2012年5月 1日 (火) 17時28分

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