規則性の問題 図形 第２１問 （東京学芸大学附属小金井中学 2006年、徳島文理中学 2011年、慶應義塾中等部 2011年、奈良学園登美ヶ丘中学 2009年 入試問題 算数）

問題　（東京学芸大学附属小金井中学　2006年、

　　　　 徳島文理中学　2011年、慶應義塾中等部　2011年、

　　　　 奈良学園登美ヶ丘中学　2009年　入試問題　算数）

　　　　 難易度★★★★

【　１　】円の中に直線を引いていくと、引いた直線によって円の

内部が分割されていきます。直線を１本、２本、３本と増やすと、

それぞれ下の図１、図２、図３のように分かれます。

　このとき次の問に答えなさい。

（１）線を４本引いて、円をもっとも多くの部分に分けるように

　　 図４に直線を描きなさい。

（２）線を５本引いて、円をもっとも多くの部分に分けると

　　 何個に分けることができますか。

（３）線を８本引いて、円をもっとも多くの部分に分けると、

　　 何個の部分に分けることができますか。

（４）（３）までのことから、直線が１本増えるごとに、もっとも多くの

　　 部分に分けたときの個数はどのように増えていくか答えなさい。

　　　　　　　　　　　　　　（東京学芸大学附属小金井中学　2006年

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 徳島文理中学　2011年）

【　２　】１枚の画用紙があります。この画用紙に直線を１本引くと

下の図Ａ のように、【　ア　】、【　イ　】の２つの部分に分けることが

できます。直線を２本引くと、図Ｂ の場合は３つの部分にしか

分けることができませんが、図Ｃ の場合は４つの部分に分ける

ことができます。このとき、次の問に答なさい。

　

（１）直線を４本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、

　　 何個の部分にわけることができますか。

（２）直線を１０本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、

　　 何個の部分にわけることができますか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（慶應義塾中等部　2011年）

【　３　】ある平面に直線を１本引くと、その直線によって平面を

２個に分けることができます。以下の①と②の２つの条件を

満たすような直線を新たに引き、同じ平面を著光線で分けて

いきます。

　 ① 新たに直線を引くとき、それまでにある交点を通らない

　　　 ようにする。

　 ② 新たに直線を引くとき、それまでにあるすべての直線に

　　　 対して平行にならないようにする。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）新たな平面に直線を６本引いたとき、平面を何個に分ける

　　 ことができますか。

（２）新たな平面に直線を１００本引いたとき、平面を５０５１個に

　　 分けることができました。直線を１１１本引いたとき、平面を

　　 何個に分けることができますか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　（奈良学園登美ヶ丘中学　2009年）

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解答

　【　１　】

　（１）図３の線のすべてを横切るように線を引けばいいので、

下の図４のようになります。

　　　　　　　　　

　（２）図４の４本の線すべてを横切るように直線を引くと、下の図５

のようになり、何個に分かれたか数えると、１６個 です。

　　　　　　　　　

　（３）いよいよ数えることが困難になるので、規則性を見つけます。

下の図のように、　

　図３では、３本目の線を引くと、２本の線と交わり、

　　　　　　　 ３個の部分を２つに分けます。（３個増える）

　図４では、４本目の線を引くと、３本の線と交わり、

　　　　　　　 ４個の部分を２つに分けます。（４個増える）

図１・・・２個

図２・・・４個

図３・・・４＋３＝７

図４・・・７＋４＝１１

図５・・・１１＋５＝１６

　となることから、８本の線を引くと、

２＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝１＋（１＋２＋３＋・・・＋８）

＝１＋（１＋８）×８÷２＝３７個 の部分に分けることができます。

　（４）（３）までより、直線の数が１本増えるごとに、図形の個数は

１本増やしたときの直線の数と同じ数だけ増えます。

　【　２　】

　（１）直線同士が交わるように線を引くと、多くの部分に分ける

ことができる、という直感にも似たことを理解しましょう。

図Ｃ の２本の直線、両方と交わるように線を引くと、下の図６の

ように、７個の部分に分けることができます。

　　　　　　　　

図６のように、２か所の点で交わることで、３個の新しい部分が

できると理解しましょう。１か所でしか交わらないと、増えるのは

２個だけですね。より多くの部分に分けるには、より多くの点で

交わる必要があるのです。

直線を４本引いて、最も多くの部分に分けるには、図６の３本

すべてと交わる線を引けばよく、下の図７のようになり、

　　　　　　　　

１１個の部分に分けられます。 　

　（２）【　１　】と同じ規則があります。

図Ａ　→　図Ｃ では、交点が１個で、２個の部分が増えます。

図Ｃ　→　図６ では、交点が２個で、３個の部分が増えます。

図６　→　図７ では、交点が３個で、４個の部分が増えます。

このような規則があるので、直線を１０本にすると、

　２＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝５６個

の部分に分けることができるとわかります。

　【　３　】

　（１）まず、長方形や円といった限られた範囲ではなく、平面に

直線を引く場合、平行ではない直線は、必ずどこかで交わります。

【　１　】、【　２　】で解いたように考えると、直線を６本引くと

２＋２＋３＋４＋５＋６＝２２個 に分けることができます。

　（２）１００本で５０５１ なので、１１１本の直線を引いたときは、

　５０５１＋（１０１＋１０２＋１０３＋・・・＋１１１）

＝５０５１＋｛１００×１１＋（１＋２＋３＋・・・＋１１）｝

＝５０５１＋（１１００＋６６）

＝６２１７個 に分けることができます。

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