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2012年4月20日 (金)

規則性の問題 図形 第21問 (東京学芸大学附属小金井中学 2006年、徳島文理中学 2011年、慶應義塾中等部 2011年、奈良学園登美ヶ丘中学 2009年 入試問題 算数)

 

問題 (東京学芸大学附属小金井中学 2006年、

     徳島文理中学 2011年、慶應義塾中等部 2011年、

     奈良学園登美ヶ丘中学 2009年 入試問題 算数)

     難易度★★★★

 

【 1 】円の中に直線を引いていくと、引いた直線によって円の

内部が分割されていきます。直線を1本、2本、3本と増やすと、

それぞれ下の図1、図2、図3のように分かれます。

 このとき次の問に答えなさい。

Pic_0943q

(1)線を4本引いて、円をもっとも多くの部分に分けるように

   図4に直線を描きなさい。

(2)線を5本引いて、円をもっとも多くの部分に分けると

   何個に分けることができますか。

(3)線を8本引いて、円をもっとも多くの部分に分けると、

   何個の部分に分けることができますか。

(4)(3)までのことから、直線が1本増えるごとに、もっとも多くの

   部分に分けたときの個数はどのように増えていくか答えなさい。

              (東京学芸大学附属小金井中学 2006年

                          徳島文理中学 2011年)

 

【 2 】1枚の画用紙があります。この画用紙に直線を1本引くと

下の図A のように、【 ア 】、【 イ 】の2つの部分に分けることが

できます。直線を2本引くと、図B の場合は3つの部分にしか

分けることができませんが、図C の場合は4つの部分に分ける

ことができます。このとき、次の問に答なさい。

 Pic_2740q

(1)直線を4本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、

   何個の部分にわけることができますか。

(2)直線を10本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、

   何個の部分にわけることができますか。

                      (慶應義塾中等部 2011年)

 

【 3 】ある平面に直線を1本引くと、その直線によって平面を

2個に分けることができます。以下の①と②の2つの条件を

満たすような直線を新たに引き、同じ平面を著光線で分けて

いきます。

  ① 新たに直線を引くとき、それまでにある交点を通らない

    ようにする。

  ② 新たに直線を引くとき、それまでにあるすべての直線に

    対して平行にならないようにする。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)新たな平面に直線を6本引いたとき、平面を何個に分ける

   ことができますか。

(2)新たな平面に直線を100本引いたとき、平面を5051個に

   分けることができました。直線を111本引いたとき、平面を

   何個に分けることができますか。

                 (奈良学園登美ヶ丘中学 2009年)

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解答

 【 1 】

 (1)図3の線のすべてを横切るように線を引けばいいので、

下の図4のようになります。

         Pic_0944a

 (2)図4の4本の線すべてを横切るように直線を引くと、下の図5

のようになり、何個に分かれたか数えると、16個 です。

         Pic_0945a

  

 (3)いよいよ数えることが困難になるので、規則性を見つけます。

下の図のように、 

 図3では、3本目の線を引くと、2本の線と交わり、

        3個の部分を2つに分けます。(3個増える

 図4では、4本目の線を引くと、3本の線と交わり、

        4個の部分を2つに分けます。(4個増える

Pic_0946a

図1・・・2個

図2・・・4個

図3・・・4+3=7

図4・・・7+4=11

図5・・・11+5=16

 となることから、8本の線を引くと、

2+2+3+4+5+6+7+8=1+(1+2+3+・・・+8)

=1+(1+8)×8÷2=37個 の部分に分けることができます。

 

 (4)(3)までより、直線の数が1本増えるごとに、図形の個数は

1本増やしたときの直線の数と同じ数だけ増えます。

 

 

 【 2 】

 (1)直線同士が交わるように線を引くと、多くの部分に分ける

ことができる、という直感にも似たことを理解しましょう。

 

図C の2本の直線、両方と交わるように線を引くと、下の図6の

ように、7個の部分に分けることができます。

        Pic_2741a

図6のように、2か所の点で交わることで、3個の新しい部分が

できると理解しましょう。1か所でしか交わらないと、増えるのは

2個だけですね。より多くの部分に分けるには、より多くの点で

交わる必要があるのです。

 

直線を4本引いて、最も多くの部分に分けるには、図6の3本

すべてと交わる線を引けばよく、下の図7のようになり、

        Pic_2742a

11個の部分に分けられます。  

 

 (2)【 1 】と同じ規則があります。

図A → 図C では、交点が1個で、2個の部分が増えます。

図C → 図6 では、交点が2個で、3個の部分が増えます。

図6 → 図7 では、交点が3個で、4個の部分が増えます。

 

このような規則があるので、直線を10本にすると、

 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個

の部分に分けることができるとわかります。

 

 

 【 3 】

 (1)まず、長方形や円といった限られた範囲ではなく、平面に

直線を引く場合、平行ではない直線は、必ずどこかで交わります。

 

【 1 】、【 2 】で解いたように考えると、直線を6本引くと

2+2+3+4+5+6=22個 に分けることができます。

 

 (2)100本で5051 なので、111本の直線を引いたときは、

 5051+(101+102+103+・・・+111)

=5051+{100×11+(1+2+3+・・・+11)}

=5051+(1100+66)

6217個 に分けることができます。

 

 

 東京学芸大学附属小金井中学の過去問題集は → こちら

 徳島文理中学の過去問題集は → こちら

 慶應義塾中等部の過去問題集は → こちら

 奈良学園登美ヶ丘中学の過去問題集は → こちら

 東京学芸大学附属小金井中学の他の問題は → こちら

 徳島文理中学の他の問題は → こちら

 慶應義塾中等部の他の問題は → こちら

 奈良学園登美ヶ丘中学の他の問題は → こちら

 

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