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2012年4月24日 (火)

場合の数 第51問 組み合わせ (早稲田中学 入試問題 2006年(平成18年度) 算数)

 

問題 (早稲田中学 入試問題 2006年 算数) 難易度★★★

 

A君、B君、C君の3人でゲームをしました。1回のゲームに

ついて勝者が1人だけ決まったときは、その勝者の得点を3点

とし、他の2人の得点を0点とします。それ以外の場合は引き分け

とし、3人の得点をそれぞれ1点とします。ゲームを20回したとき、

次の問に答えなさい。

 

(1)A君、B君の得点の合計がそれぞれ29点、14点でした。

   このときC君の得点の合計は何点ですか。

(2)A君の得点の合計が31点だった場合、B君の得点の合計は

   何通り考えられますか。

(3)引き分けが6回あり、得点の合計は3人とも異なり、多い順に

   A君、B君、C君となりました。A君、B君、C君の得点の合計の

   組み合わせは何通り考えられますか。

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解答

 (1)A君の得点:29点をもとに、A君の勝ち、引き分け、負けの

回数を考えると、最も多く勝つのは9回、そのとき引き分けは2回、

負けは20-(9+2)=9回となります。

  A君の結果をもとに、B君の勝ち、引き分け、負けの回数を

考えると、引き分けの回数はA君と同じになるので、勝ちが4回、

負けは20-(4+2)=14回 となります。

  A君とB君の結果をもとに、C君の勝ち、引き分け、負けの

回数を考えると、引き分けは変わらず2回、20回のうち2回が

引き分けで、残り18回のうち、A君が9勝、B君が4勝なので

C君は5回勝ったことがわかり、負けは13回です。

 

これをまとめると、下の図1の表になります。

A君の勝ちを1回減らして8回だった場合も同様にまとめました。

   Pic_2910a

すると、どちらもC君は17点になります。これは、

   A君の勝ちが1回減ると、引き分けが3回増える。

→ 引き分けが3回増えるとB君の勝ちは1回減る。

→ 20回あって、引き分けが3回増え、A君、B君の勝ちが1回ずつ

   減るので、C君の勝ちも1回減らなければならない。

ということに起因します。

 

よって、どのようなパターンのときでも、A君が29点、B君が14点

のときは、C君は17点 になります。

 

 (2)A君の得点が31点のとき、最も多く勝つときを、まず考え

ます。すると、引き分けの回数が最も少なく、1回となります。

すると、B君が引き分け1回のときに勝てる回数は、下の図1の

ように 9回~0回まであり、得点は10通りあることがわかります。

   Pic_2911a

A君の勝ちの回数を1回減らして9回とすると、上の図2のように

引き分けは4回となり、B君の勝ちの回数は7回~0回で、

得点はA君の勝ちの回数が10回のときとすべて重複します。

 

これは、A君の勝ちが1回減る 

   → 引き分けが3回増える

   → B君の勝ちが最も多いときの回数が2回減る

   → B君の得点は、引き分けで3点増え、勝ちで6点減る

   → 合計で3点減る

   → A君の勝ちが減っても、B君の得点は図2と同じ。

という理由からです。

 

よって、B君の得点の合計は、10通り 考えられます。

 

 (3)引き分けが6回あるので、A君、B君、C君が勝った回数の

合計は、20-6=14回あります。

 

3人が勝った回数(A,B,C)は、すべて異なり、

 (13,1,0)、(12,2,0)、(11,3,0)、(11,2,1)

 (10,4,0)、(10,3,1)、(9,5,0)、(9,4,1)、(9,3,2)

 (8,6,0)、(8,5,1)、(8,4,2)

 (7,6,1)、(7,5,2)、(7,4,3)

 (6,5,3)

以上の16通りあるので、A君、B君、C君の得点の合計の

組み合わせも16通り 考えられることになります。

 

 

 早稲田中学の過去問題集は → こちら

 早稲田中学の他の問題は → こちら

 

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