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2012年4月23日 (月)

平面図形の面積 第81問 (東大寺学園中学 受験問題 2012年(平成24年度) 算数)

 

問題 (東大寺学園中学 受験問題 2012年 算数) 

     難易度★★★☆

 

 下の図のように、AB=15cm、AC=30cm、角A の大きさが

90度の直角三角形ABC があります。

Pic_2896q 

(1)三角形ABC の中に図のように正方形APQR を入れます。

  このとき、この正方形の1辺の長さを求めなさい。

  ただし、QはBC上にあるものとします。

(2)図のようにABの延長上にDを、ACの延長上にE を、BC と

   DE が平行になるように取ったところ、四角形BDEC の中に

   図のように同じ大きさの正方形が6個入りました。このとき、

   BD の長さを求めなさい。

(3)さらに、図のようにADの延長上にF を、AE の延長上にGを、

   DE とFG が平行になるように取ったところ、四角形DFGE の

   中に、図のように同じ大きさの正方形が10個入りました。

   このとき、黄色い部分の面積を求めなさい。

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解答

 (1)三角形ABC の面積は、15×30÷2 ですが、下の図1

のように、三角形ABQ と三角形ACQ の2つに分けると、

    Pic_2897a

2つの三角形は、底辺をAB,AC とすると、高さは共に

正方形の1辺の長さと等しくなります。

 

2つの三角形の面積の合計は、正方形の1辺を□cmとすると、

 15×□÷2+30×□÷2=(15+30)×□÷2

                 = 45×□÷2

となります。

 

よって、15×30÷2=45×□÷2 なので、

  □=15×30÷45=10cm と求められます。

 

 

 (2)(1)より、三角形ABCに正方形APQRを入れたときの

各長さは下の図2のようになります。

  Pic_2898a

このことを利用して、四角形BDEC における面積比を

下の図3のように表すことができます。

Pic_2899a

C からBD と平行な線がDE と交わる点をS とすると、

四角形BDSC は平行四辺形になり、下の図4のように

四角形BDEC を分けると、

Pic_2900a

 三角形BCD : 三角形CDE =15:24=5:8

という面積比であることがわかります。

 

この 5 : 8 という比は、BC : DE の長さの比、

三角形ABC : 三角形ADE の相似比 になります。

すなわち、AB : AD = 5 : 8 です。

AB=15cm なので、AD=24cm とわかり、

 BD=24-15=9cm と求められます。

 

 

 (3)黄色い部分の面積を求めるには、

         四角形DFGE - 正方形10個

とする考え方をとります。

 

四角形DFGE の面積は、

         三角形AFG - 三角形ADE

で求められます。三角形ADE の面積は、(2)より求められます。

 

三角形AFG の面積を出すには、DF の長さを求める必要があり、

(2)と同様にして求めることができそうです。

 

次に、正方形10個の面積ですが、下の図5のように

Pic_2901a

正方形の1辺の長さの比は、AB:BDと等しくなっています。

なので、10個の正方形の1辺の長さは、DFの長さから

求めることができるので、カギはDFの長さということになります。

 

(2)の図3、図4のように、四角形DFGE の面積比を表すと

下の図6のようになります。

Pic_2902a

このことから、DE : FG = 27 : 36 = 3 : 4 とわかります。

 AF の長さ=AD の長さ(15+9=24cm)の4/3倍 = 32cm

と求められるので、DF =32-24=8cm です。

 

AB:BD:DF = 15:9:8 なので、四角形DFGE の中に

入っている10個の正方形の1辺の長さは、比の関係より、

 6×8/9=16/3(cm) とわかります。

 

また、三角形AFGの面積=32×64÷2=32×32

    三角形ADEの面積=24×48÷2=24×24

なので、求める部分の面積は、

  32×32-24×24-16/3×16/3×10個

=8×4×8×4-8×3×8×3-8×2/3×8×2/3×10

=8×8×(16-9-40/9)

=64×23/9

=1472/9=163と5/9(c㎡) です。

 

 

別解

 (2)四角形BCEDの中に入っている正方形の1辺の長さは、

下の図7のように、正方形の1辺の長さ5個分とACの長さが

等しいことから、

 Pic_29001a

30÷5=6cm と求めることができます。

 

下の図8のように三角形DHI に注目すると、

 Pic_29002a_2

三角形DHI と三角形ABC は相似なので、

DH : HI = 1 : 2 とわかり、HI = 6cm より、DH=3cmです。

 

よって、BDの長さ=BH+HD=6+3=9cm と求められます。 

 

 

 (3)図8の三角形CES も三角形ABC と相似で、CS=9cmより、

CE=9×2=18cm とわかります。

 

(2)と同様に、下の図9のように正方形の1辺9個分と

AE の長さ(30+18=48cm)が等しいことがわかり、

正方形の1辺の長さは、48÷9=16/3cm と求められます。

Pic_29011a_2

(2)と同様に、DF=ET=8cm、EG=16cm と求められます。

求める面積は、四角形DEGFから正方形10個を除いたもので、

  四角形DEGF=平行四辺形DETF 直角三角形EGT

           =DFの長さ × AE の長さ + 8×16÷2

          =8×48+8×8 =8×(48+8)

          =448c㎡

  正方形10個の面積=16/3 × 16/3 × 10

              =2560/9

              =284と4/9c㎡

なので、求める面積=448-(284と4/9)

            =163と5/9 (c㎡) です。

 

 

 東大寺学園中学の過去問題集は → こちら

 東大寺学園中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

(2)
ACの長さが正方形の一辺の5つ分
(ACに各辺を平行移動できる)
→正方形一辺が30/5=6
→CEはその3倍で18
→BDはその半分で9
こっちの方がはるかに楽かと

投稿: momo | 2012年4月23日 (月) 19時02分

momoさま、コメントありがとうございます。

ご提示された解法、とてもすっきりしていていいですね。
思いつきませんでした><

別解として作成して載せさせていただきました。

また、お気づきの点がございましたら
コメントよろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2012年4月24日 (火) 19時08分

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