場合の数 並べ方 第５０問 （洛星中学 2012年（平成24年度） 受験問題 算数）

問題　（洛星中学　2012年　受験問題　算数）　難易度★★★★

１から５までの番号がそれぞれ書かれた５枚のカードを、

一番上のカードの番号が１にならないように重ねます。

次の操作を何回か行い、一番上のカードの番号が１に

なったところで操作をやめます。

　【操作】

一番上のカードの番号と同じ枚数のカードを上から取り、

順番を逆にして戻す。

たとえば、カードの番号が上から３，２，１，４，５ となって

いるとき、１回の操作を行うと、上から１，２，３，４，５ となります。

（１）３，１，５，４，２ となっているとき、この操作をくり返していくと、

　　 操作が終わったときに、カードは上からどのように並びますか。

（２）操作をやめたときのカードの並び方として考えられるものは

　　 何通りありますか。

（３）２回だけ操作が行えるような最初のカードの並べ方は何通り

　　 ありますか。

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解答

　（１）最初、３，１，５，４，２ のとき、次のようになります。

　３，１，５，４，２

　　　　　↓

　５，１，３，４，２

　　　　　↓

　２，４，３，１，５

　　　　　↓

　４，２，３，１，５

　　　　　↓

　１，３，２，４，５

　（２）操作が終わったとき、カードは 「１○△□☆」 となっていて、

○、△、□、☆ には、２，３，４，５ のどれかが入り、その並び方

として考えられるものは、４×３×２×１＝２４通り あります。

ただし、○、△、□、☆ には、必ず上からの番号と数字が同じ

ものがなければ、なりません。

たとえば、（１）では、４，２，３，１，５　→　１，３，２，４，５

なので、４番目には４が入っています。

すなわち、２４通りから、番号と数字が同じになるものが

ない場合を除かなければならす、下の図１のように

　　　

９通り あるので、 操作をやめたときのカードの並び方として

考えられるものは、２４－９＝１５通り です。

　（３） 「１○△□☆」 の１回前のカードの並び方は、

「２１△□☆」、「３○１□☆」、「４△○１☆」、「５□△○１」 の４通り

が考えられます。さらに、この並びになるには、下の図２のように

　

２×１２＝２４通り  の並べ方があります。

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