計算問題 第７２問 （約束記号） （開成中学 受験問題 2012年（平成24年度） 算数）

問題　（開成中学　受験問題　2012年　算数）　難易度★★★★

２以上１５０以下の整数Ｎに対して、＜Ｎ＞はＮの約数の中で

２番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、６の約数は

１，２，３，６ なので、＜６＞＝３ であり、７の約数は１，７ なので

＜７＞＝１ です。このとき、次の問に答えなさい。

（１）２以上１５０以下のすべての偶数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、

　　 すなわち、＜２＞＋＜４＞＋＜６＞＋・・・＋＜１５０＞を

　　 求めなさい。

（２）２以上１５０以下のすべての３の倍数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、

　　 すなわち、＜３＞＋＜６＞＋＜９＞＋・・・＋＜１５０＞を

　　 求めなさい。

（３）Ａ÷５＝＜Ａ＞、Ｂ÷７＝＜Ｂ＞、Ｃ÷１１＝＜Ｃ＞ となるような

　　 ２以上１５０以下の整数Ａ，Ｂ，Ｃ はそれぞれ何個ありますか。

（４）２以上１５０以下のすべての整数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、

　　 すなわち、＜２＞＋＜３＞＋＜４＞＋・・・＋＜１５０＞を

　　 求めなさい。なお、２以上１５０以下の整数Ｎのうち、

　　 ＜Ｎ＞＝１ であるものは３５個です。

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解答

　（１）偶数Ｎをかけ算で表すと、１×Ｎ　、　２×Ｎ/２　、・・・

となっていきます。このことから、偶数Ｎの約数のうち

２番目に大きい整数は、Ｎを２で割ったものということになります。

よって、＜２＞＋＜４＞＋＜６＞＋・・・＋＜１５０＞

　　　＝１＋２＋３＋・・・＋７５

　　　＝（１＋７５）×７５÷２＝２８５０ です。

　（２）３の倍数Ｎをかけ算で表すと、

Ｎが偶数の場合は、１×Ｎ　、　２×Ｎ/２　、　３×Ｎ/３　、　・・・

Ｎが奇数の場合は、１×Ｎ　、　３×Ｎ/３　、　・・・

と表すことができます。

このことから、３の倍数Ｎが偶数のとき、＜Ｎ＞＝Ｎ÷２

Ｎが奇数のとき、＜Ｎ＞＝Ｎ÷３ ということがわかります。

＜３＞＋＜６＞＋＜９＞＋・・・＋＜１５０＞ を偶数と奇数に分け、

　Ａ＝＜３＞＋＜９＞＋＜１５＞＋＜２１＞＋・・・＋＜１４７＞

　　＝１＋３＋５＋７＋・・・＋４９ （２５個）

　　＝（１＋４９）×２５÷２＝６２５

　Ｂ＝＜６＞＋＜１２＞＋＜１８＞＋＜２４＞＋・・・＋＜１５０＞

　　＝３＋６＋９＋１２＋・・・＋７５　（２５個）

　　＝（３＋７５）×２５÷２＝９７５

となるので、求める値は、Ａ＋Ｂ＝１６００ です。

　（３）Ａ÷５＝＜Ａ＞ ということから、まず、Ａは５の倍数です。

そこで、１０，１５，２０，・・・について順に考えると、

　５　→　＜５＞＝１　なので、○

　１０　→　＜１０＞＝５　なので、×

　１５　→　＜１５＞＝５　なので、×

　２０　→　＜２０＞＝１０　なので、×

　２５　→　＜２５＞＝５　なので、○　（２５＝１×２５、５×５）

　３０　→　＜３０＞＝１５　なので、×

　３５　→　＜３５＞＝７　なので、○　（３５＝１×３５、５×７）

　・・・

のようになることから、Ａ÷５＝＜Ａ＞ となるＡは、

５の倍数のうち、５より小さい２，３，４の倍数ではない整数

（１の次に割り切れる整数が「５」の整数）で、

　５，２５，３５，５５，６５，８５，９５，１１５，１２５，１４５

の１０個があてはまります。

同じように、Ｂ÷７＝＜Ｂ＞ となるＢは、

７の倍数のうち、７より小さい２，３，４，５，６の倍数ではない整数

（１の次に割り切れる整数が「７」の整数）で、

　７，４９，７７，９１（７×１３），１１９（７×１７），１３３（７×１９）

の６個があてはまります。

同じように、Ｃ÷１１＝＜Ｃ＞ となるＣは、

１１の倍数のうち、１１より小さい整数の倍数ではない整数

（１の次に割り切れる整数が「１１」の整数）で、

　１１，１２１，１４３（１１×１３）

の３個があてはまります。

　（４）（３）までで、＜Ｎ＞の値について、

２で割ったもの～１１で割ったものまでを調べたことになります。

続きはどうなるかというと、１２で割る場合→偶数なので、２で割る。

１３で割る場合→１３，１６９←１５０を超えるので、１３のみ。

１３以上になると、２，３，５，７，１１の倍数以外のＮについて、

＜Ｎ＞＝１ となるものしか残っていません。

（１５０が、１２×１２＝１４４と１３×１３＝１６９の間なので、１２まで

　調べればよい）

よって、＜２＞＋＜３＞＋＜４＞＋・・・＋＜１５０＞

＝＜２＞＋＜４＞＋＜６＞＋・・・＋＜１５０＞　【Ｎ＝２の倍数】

＋＜３＞＋＜９＞＋＜１５＞＋・・・＋＜１４７＞　

　　　　　【Ｎ＝３の倍数（２の倍数を除く）】

＋＜５＞＋＜２５＞＋＜３５＞＋＜５５＞＋＜６５＞＋＜８５＞

　　　　　＋＜９５＞＋＜１１５＞＋＜１２５＞＋＜１４５＞

　　　　　【Ｎ＝５の倍数（２，３の倍数を除く）】

＋＜７＞＋＜４９＞＋＜７７＞＋＜９１＞＋＜１１９＞＋＜１３３＞

　　　　　【Ｎ＝７の倍数（２，３，５の倍数を除く）】

＋＜１１＞＋＜１２１＞＋＜１４３＞

　　　　　【Ｎ＝１１の倍数（２，３，５，７の倍数を除く）】

＋＜１３＞＋＜１７＞＋＜１９＞＋・・・＋＜１４９＞

　　　　　【＜Ｎ＞＝１のもの３５個のうち、２，３，５，７，１１以外】

＝２８５０＋６２５

　　　　　 ＋（１＋５＋７＋１１＋１３＋１７＋１９＋２３＋２５＋２９）

　　　　　 ＋（１＋７＋１１＋１３＋１７＋１９）

　　　　　 ＋（１＋１１＋１３）

　　　　　 ＋（１×３５－５）

＝２８５０＋６２５＋１５０＋６８＋２５＋３０

＝３７４８ です。

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