規則性の問題 図形 第２０問 （豊島岡女子学園中学 受験問題 2012年（平成24年度） 算数）
問題 （豊島岡女子学園中学 受験問題 2012年 算数）
難易度★★★★
正三角形のタイルを下の図１のように、１段目に１個、２段目に
３個、３段目に５個、というように、１段下にいくごとに２個ずつ
個数を増やしながら、すきまなく並べ、この正三角形のタイルに
整数を１から順に１段目から書いていきます。ただし、それぞれの
段では、左はしから順に数を書いていき、すべてのタイルに数を
書いた後は、次の数をその１段下の左はしに書きます。
次に、下の図２のように、３の倍数の書かれたタイルに色をつけて
いきます。その結果、たとえば図２の色のついた「９」と「１５」の
タイルは、辺どうしがくっついています。このような２つのタイルを
合わせて「色のついたひし形」と呼ぶことにします。このとき、
次の問に答えなさい。
（１）「色のついたひし形」は、１段目から７段目までに何ヵ所
ありますか。
（２）１段目から１９段目までにある「色のついたひし形」の中で、
タイルに書かれている２つの数の和について考えるとき、
最も大きい２つの数の和はいくつですか。
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解答
（１）規則的なものがよくわかりませんし、７段目までなら
自力で書けるので描いてみると、下の図３のようになり、
「色のついたひし形」は、３ヵ所 あることがわかります。
（２）図３の図からわかる規則としては、下の図４，５のように
丸く囲んだ部分が移動している様子がうかがえます。
３段１組で並んでいることがわかります。
また、「３０と４２」、「３６と４８」のひし形が、同じ段にあるので、
「３６と４８」のような関係にあるひし形のうち、一番下の段に
あるものを探せばよい、ということになります。
各段の一番右側の数＝段の数×段の数 （７段目は、７×７＝４９）
となっているので、１９段目で考えると、図４，５の３段１組の関係
から、１９÷３＝６あまり１ なので、下の図６のようになり、
１８段目の一番右側が、１８×１８＝３２４ で３の倍数、その下が
３６０ なので、「色のついたひし形」を作ることができ、最も大きい
和は、３２４＋３６０＝６８４ となります。
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コメント
私は違う考え方をしました。
図3を見るとn段目にある数aの真下の数はa+2nになることに気づきます。
よって色の付いたひし形はaが3の倍数かつa+2nが3の倍数なわけですから、2nも3の倍数になります。
つまりnは3の倍数になります。
段数は19段までなので、和が最大になるひし形は18段目と19段目の間に作られると見当が付きます。
あとは図6のように右下から図を書くと324と360のひし形が見つかります。
投稿: 万打無 | 2012年3月23日 (金) 19時42分
万打無さま、コメントありがとうございます。
重なった段の数の関係は気がつきませんでした。
鋭い着眼だと思います。
いろいろ規則が隠れているものですね。
またお気づきの点がございましたら、コメント
よろしくお願い致します。
投稿: 桜組 | 2012年3月28日 (水) 17時17分