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2012年3月 7日 (水)

場合の数 第48問 道順 (滝中学 2012年(平成24年度) 算数受験問題)

 

問題 (滝中学 2012年 算数受験問題) 難易度★★★

 

下の図のように、1辺4cmの立方体を8個組み合わせてできた

立体があります。2点P,Qが点A から点B に向かって、線または

点線上を、遠回りしないで動いていきます。点P は毎秒1cm、

点Q は毎秒2cm で動きます。また、点P,Q は点C,D,E,F で

2秒、点G,H,I,J で3秒間停止します。このとき、次の問に

答えなさい。

Pic_2862q

(1)点P が点A から点B まで動くときを考えます。

  (ア)最も時間がかからない行き方では、何秒かかりますか。

  (イ)最も時間がかかる行き方では、何秒かかりますか。

(2)点P が点A から点B まで動くのに26秒かかる場合を考えます。

  (ア)点C から点J の中で、通過した点はどこですか。

  (イ)点A から点B への行き方は何通りありますか。

(3)点Q は点P より5秒おくれて点A を出発しましたが、2点P,Q

   は同時に点Bに着きました。このとき、点P が点A を出発して

   から何秒かかりましたか。考えられる全ての場合を答えなさい。

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解答

 (1)(ア)最も時間がかからない行き方は、停止を強いられる

C~Jを通らずに行く行き方で、下の図1の矢印のようになり、

Pic_2863a

 8×3÷1=24秒 かかります。

 

 (1)(イ)最も時間がかかる行き方は、停止するC~Jを

できるだけ通る行き方で、特に下の図2のように、G~J を

多く通ればよく、

Pic_2864a

 24÷1+3×3+2=35秒 かかります。

 

 (2)(ア)26秒かかって点Bに着くのは、(1)(ア)の最短の

24秒より2秒多いので、C~F のどれか1ヵ所を通ったと

いうことです。

 

C,D,E,F のうち、C以外は他の点も通らなければBに

着くことはできない(Fは、Fの前にC,E,Jのどれかを通る)

ので、通過した点は、 です。

 

 (2)(イ)下の図3のように、点Cから点Bと、点C の手前の点K

を結ぶ経路は1通りしかありません。

Pic_2865a

よって、点Aから点Kまでの経路が何通りあるのかを調べればよく、

下の図4のように

         Pic_2866a

点A から点K の行き方は3通りあるので、26秒で

点A から点B へ行く行き方は、3通り です。

 

 (3)点Qは、点C~Jを通らない場合(最短の場合)

8×3÷2=12秒 で点B に着くことができます。

 

点Qは、点Pより5秒おくれて点A を出発するので、

最短で、12+5=17秒 かかることがわかります。

 

また、最も時間がかかる場合は、図2のルートを通り、

17+3×3+2=28秒 かかることがわかります。

 

点Pは、最短で24秒、最長で35秒かかるので、

点P、点Qについて、24~28秒の間で同時に着くことが

あるかどうかを調べればよいということです。

 

★24秒について

 点P → 最短で着くことができる。

 点Q → 17+7秒なので、3秒+2秒+2秒(H → D → C)の

       ように通れば着くことができる。

 

★25秒について

  点P → 最短の24秒+1秒なので着くことができない。

 

★26秒について

  点P → (2)より、着くことができる。

  点Q → 17+9秒なので、3秒+3秒+3秒(H→ I →J)の

        ように通れば着くことができる。

 

★27秒について

  点P → 24+3秒なので、3秒の点を1回通れば着く。

  点Q → 17+10秒なので、3秒+3秒+2秒+2秒

       (H → I → E → F)のように通れば着くことができる。

 

★28秒について

  点P → 24+4秒なので、2秒の点を2か所(D → Cなど)

        通れば着くことができる。

  点Q → 最長の時間で着くことができる。

 

よって、点P,Qが同時に着くことができると考えられるとき、

点Pが点Aを出発してからかかる時間は、24,26,27,28秒

の4通りあります。

 

 

 滝中学の過去問題集は → こちら

 滝中学の他の問題は → こちら

 

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