影の映り方 第６問 （東大寺学園中学 2012年（平成24年度） 入試問題 算数）

問題　（東大寺学園中学　2012年　入試問題　算数）

　　　 　難易度★★★☆

下の図のように、平らな地面の上に東西南北、それぞれ １ｍ

間隔（かんかく）で直線が引かれています。図の太線の上には

高さ ５ｍ の壁があります。また、高さ １０ｍ の柱があり、柱の

上には電球がついています。この電球で壁を照らしたときに

地面にできる影について次の問に答えなさい。

　　

（１）図のＰの位置に柱を立てたとき、影の面積を求めなさい。

（２）図のＱの位置に柱を立てたとき、影の面積を求めなさい。

（３）柱を図のＰの位置からＱの位置まで、まっすぐに動かした

　　 とき、一度でも影になる部分の面積を求めなさい。

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解答

　（１）柱の高さが１０ｍ、壁の高さが５ｍ なので、下の図１のように

Ａ 地点に壁がったとき、影の長さは、柱からＡ 地点までの長さと

等しくなります （　①　：　①　）。また、手前のＢ地点にも壁がある

と、Ｂ地点の壁の影はＡ地点の影と重なることがあります。

　　　

Ｐの位置に柱を立てると、柱からの光は下の図２のように

壁の４スミＲ，Ｓ，Ｔ，Ｕ を通り、Ｖ，Ｗ，Ｘ，Ｙ までの影が

できます。

　　

よって、影の面積は下の図３のように ５個の部分に分けることで

求めることができ、

　　

　オレンジ部分　・・・　４×４＝１６㎡

　黄色い部分　・・・　５×６÷２＝１５㎡

　灰色部分　・・・　２×３＝６㎡

　青い部分　・・・　１×１０÷２＝５㎡

　緑の部分　・・・　８×８＝６４㎡

これらを合計して、影の面積は、

　１６＋１５＋６＋５＋６４＝１０６㎡ です。

　（２）Ｑの位置に柱を立てると、柱からの光は下の図４のように

壁の４スミＲ，Ｓ，Ｔ，Ｕ を通り、Ｖ’，Ｗ’，Ｘ’，Ｙ’ までの影が

できます。

　　

Ｒに当たった光が正方形ＲＳＴＵ内のＶ’に影を作るので、

正方形ＲＳＴＵ内に、影ができない部分ができることに

気をつけて、影の面積は下の図５のように４つの部分に分けて

求めることができ、

　　

　オレンジの部分　・・・　４×４－１×２＝１４㎡

　紫の部分　・・・　２×７÷２＝７㎡

　青色の部分　・・・　３×６÷２＝９㎡

　黄色い部分　・・・　８×８－１×２＝６２㎡

これらを合計して、影の面積は、

　１４＋７＋９＋６２＝９２㎡ です。

　（３）柱をＰの位置からＱの位置まで動かすと、下の図６のように

動きます。

【　図６　】

　

よって、求める面積は上の図６のように、（１）の図３の面積より

赤色の部分が増えて、下の図７のように分けて考えると、

　　

　赤色の部分　・・・　２×４÷２＝４㎡

　紫色＋黄色の部分　・・・　８×７＋７×２÷２－（４＋１０）×５÷２

　　　　　　　　　　　　　　　＝５６＋７－３５＝２８㎡　

　　　　　　　　　（黄色い長方形＋紫の三角形－いらない台形部分）

これらの面積が、（１）の１０６㎡より増えるので、柱をＰからＱまで

動かしたときに、一度でも影になる部分の面積は、

　　　１０６＋４＋２８＝１３８㎡ です。

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