場合の数 並べ方 第４８問 （灘中学 2012年（平成24年度） 入試問題 算数）

問題　（灘中学　2012年　入試問題　算数）　難易度★★★

１４１４１ のように、０から９までの１０個の数字から、異なる

２つの数字を選び、交互（こうご）に並べて５ケタの整数を

作ります。このような整数のうち、３の倍数は【　①　】個あり、

１２の倍数は全部で【　②　】個あります。ただし、０１０１０ の

ように、先頭の数字が０のものは考えません。

　【　①　】、【　②　】に入る数を答えなさい。

---------------------------------------------

---------------------------------------------

解答

　３の倍数の見分け方は、その数の各ケタの数を合計して、

それが ３の倍数になれば、その数は３の倍数です。

２つの数字が交互に　「　ＡＢＡＢＡ　｣ のように並んでいると、

各ケタの合計は、Ａ×３＋Ｂ×２ となります。

これが３の倍数になるのは、Ｂ×２ が３の倍数のときです。

（ Ａ×３ は３の倍数なので、Ａの数は何でもよいということです ）

ということは、Ｂは３の倍数でなければなりません。

このような２つの整数Ａ，Ｂ は、

　Ａ　・・・　１，２，３，４，５，６，７，８，９ のどれか

　Ｂ　・・・　３，６，９，０ のどれか

となり、組み合わせは、下の表１のようになります。

　　　

よって、３の倍数は、８＋８＋８＋９＝３３個 あります。

次に、１２の倍数ですが、１２の倍数は３の倍数でもあり、

４の倍数でもあるものです。ですから、３の倍数「３３個」から

４の倍数を探せばいいことになります。

４の倍数の見分け方は、「下２ケタが４の倍数かどうか」で

わかります。

表１から、「　ＡＢＡＢＡ　｣ の下２ケタ 「　ＢＡ　」が４の倍数に

なるものは、３２，３６，６４，６８，９２，９６，０４，０８ の８個

ということがわかります。

　灘中学の過去問題集は　→　こちら

　灘中学の他の問題は　→　こちら