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2012年2月24日 (金)

立体図形の切り口 第43問 正四面体 (慶應義塾中等部 2012年(平成24年度) 受験問題 算数)

 

問題 (慶應義塾中等部 2012年 受験問題 算数) 

     難易度★★★★

 

 1辺の長さが 6cm の正三角形を4枚はり合わせて、下の図ア

のような立体を作りました。点P は辺AD上、点Q は辺AB上、

点R は辺CD上にあり、AP=2cm、BQ=1cm、CR=3cmです。

  3点P,Q,R を通る平面でこの立体を切り、2つの立体に分け

るとき、次の問に答えなさい。

Pic_2829q_2

(1)3点P,Q,R を通る平面が辺BC を切る点をS とするとき、

   BS の長さを求めなさい。

(2)2つの立体の表面の面積の差は、正三角形ABC の何倍

   ですか。

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解答

 (1)切り口の予想図としては、下の図1のようになりますが、

いきなり BS の長さを求めることは至難の業です。

Pic_2830a

そこで、まずPRの線に注目します。下の図2のように、

平面ACD において、P→D へ 4cm、D→R へ 3cm という

割合で進む切り口の線ということがわかります。

   Pic_2831a_2

そこで、下の図3のように、点Q を頂点とする、1辺1cmの

正三角形を4枚はり合わせた立体Q-BEF について考えると、

Pic_2832a_2

3点P,Q,R と通る平面による切り口は、

   QF : FT = ④ : ③ 

となる、EF上の点T を通り、1辺1cmなので、ET=1/4cm

ということがわかります。

 

よって、3点P,Q,Rによる切り口の平面の SR上に点T があり、

下の図4のような関係ということがわかります。

     Pic_2833a

ここで、三角形SET と三角形SCR が相似で、相似比は、

 1/4 : 3 = 1 : 12 なので、

CE=5cm は、1 : 12 の差の11に相当し、

 SE=5÷11=5/11cm

とわかるので、BSの長さ=BE-SE=1-5/11=6/11cm

と求められます。

 

 (2)2つに分けた立体の表面積の差には、切り口の面積は

無関係なので(両方に含まれるため)、表面積の差は元の

正四面体の表面で考えます。それには展開図を用いることが

有効で、下の図5のように描くことができます。

  Pic_2834a

この黄色い部分と青い部分の差が、三角形ABC の何倍かを

調べなければいけないのですが、平面図形の面積比を求める

方法として、次のようなものがあります。

 

下の図6のような三角形があるとき、黄色い部分と青い部分の

面積比を求めるには、

     Pic_2835a

 三角形ABC の面積 = ABの長さ × ACの長さ = 72

 三角形ADE の面積 = ADの長さ × AEの長さ = 15

 四角形BCED の面積 = 三角形ABC - 三角形ADE = 57

として、

 黄色い部分 : 青い部分 = 15 : 57 = 5 : 19

となります。

 

この手法を用いて、図5の黄色い部分と青い部分の面積比を

求めると、1辺6cmの正三角形が4枚あるので、

 全体の面積(正四面体の表面積)=6×6×4面=144

 黄色い部分①

  四角形ACSQ=三角形ABC-三角形BSQ

           =6×6-1×6/11=36-6/11

 黄色い部分②

  三角形APQ=AP×AQ=2×5=10

 黄色い部分③

  四角形ACRQ=三角形ACD-三角形DRQ

           =6×6-4×3=24

 黄色い部分④

  三角形CRS=CR×CS=3×60/11=180/11

よって、黄色い部分の合計は、

 36-6/11+10+24+180/11=70+174/11

                       =85と9/11

青い部分の合計は、全体-黄色い部分 より、

 144-85と9/11=58と2/11

 

以上より、2つの立体の表面積の差は、

 (85と9/11) - (58と2/11) = 27と7/11

とわかり、三角形ABC=6×6=36 なので、

2つの立体の表面積の差は、三角形ABC の面積の

 (27と7/11)÷36=76/99 (倍) と求められます。

 

 

 慶應義塾中等部の過去問題集は → こちら

 慶應義塾中等部の他の問題は → こちら

 

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