連続した数の掛け算 第１３問 （筑波大学附属駒場中学 2012年（平成24年度） 入試問題 算数）

問題　（筑波大学附属駒場中学　2012年　入試問題　算数）

　　　　 難易度★★★

１からＡ までの連続した整数をかけて数を作ります。このように

して作った数について、一の位から連続して並ぶ「０」の個数を

記号＜Ａ＞で表します。

例えば、

　１×２×３×４＝２４　　　　 なので、＜４＞ の数値は「０」で、

　１×２×３×４×５＝１２０　なので、＜５＞ の数値は「１」です。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）＜１０＞、＜１５＞の数値をそれぞれ答えなさい。

（２）＜Ａ＞ の数値にならない整数があります。それらのうち、

　　 小さい方から２つ答えなさい。

（３）＜１＞、＜２＞、＜３＞、・・・、＜１２５＞ の数値の合計を

　　 求めなさい。

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解答

　（１）＜１０＞＝１×２×３×４×５×６×７×８×９×１０

この中に、一の位から連続して並ぶ「０」を作る「元」となる

ものは、２×５　→　１０　と、×１０ の２個です。

よって、＜１０＞＝２ です。

５の倍数の個数を調べればよく、＜１５＞ も同様に、

１から１５までに、５の倍数は、５，１０，１５ の３個あるので、

＜１５＞＝３ です。

　（２）＜５＞＝１、＜１０＞＝２、＜１５＞＝３、＜２０＞＝４

となりますが、＜２５＞＝６ です。

　２５＝５×５　なので、１０を作る「５」が２個含まれます。

よって、＜Ａ＞＝５ となるものは、ありません。

次に、２５×２＝５０のときも、５が２個含まれるので、

＜３０＞＝７、＜３５＞＝８、＜４０＞＝９、＜４５＞＝１０

となりますが、＜５０＞＝１２ です。

よって、＜Ａ＞＝１１ となるものも、ありません。

したがって、答えは、５，１１ です。

　（３）＜１＞　～　＜４＞　→　０

＜５＞　～　＜９＞　→　１が５個

＜１０＞　～　＜１４＞　→　２が５個

・・・・・・・・・・・・・・・・・・

＜１２０＞　～　＜１２４＞　→　？が５個

＜１２５＞　→　？？

となります。（２）より、＜Ａ＞の数値にならない整数として、

５，１１があり、この調子でいくと、次は、７５、１００，１２５のときに

発生し、１７，２３，２９ が＜Ａ＞の数値としてないことがわかります。

　　　　 （６ずつ増える）

さらに、＜１２５＞では、１２５＝５×５×５　と、「５」を３個含む

ことから、３０ もなく、＜１２５＞＝３１ となることに気をつけましょう。

よって、＜１＞、＜２＞、＜３＞、・・・、＜１２５＞ の数値の合計は

　　１×５＋２×５＋３×５＋・・・＋２８×５＋３１ 　　のようになり、

＝｛（１＋２＋３＋・・・・＋２８）－（５＋１１＋１７＋２３）｝×５＋３１

＝（２８×２９÷２－１４×４）×５＋３１

＝１４×（２９－４）×５＋３１

＝７０×２５＋３１＝１７８１ となります。

筑駒の問題の中では易しめなので、落としたくない問題ですね。

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