立体図形の体積比 第７問 （開成中学 2012年（平成24年度） 入試問題 算数）

問題　（開成中学　2012年　入試問題　算数）　難易度★★★

ＡＢ＝６ｃｍ、ＢＣ＝７ｃｍの三角形ＡＢＣ の辺ＢＣ上に点Ｄ を

とり、三角形ＡＢＤを２点Ａ，Ｄを通る直線で折り返すと、下の図１

のように、点Ｂは点Ｅ に重なります。

　　　　

ＡＥ とＢＣ の交わる点をＦ とすると、ＣＦ＝３ｃｍになり、三角形

ＡＢＣ の面積が三角形ＤＥＦ の７倍になります。このとき、次の

問に答えなさい。

（１）ＡＦ，ＢＤ の長さをそれぞれ求めなさい。

（２）三角形ＡＣＤ を２点Ａ，Ｄ を通る直線を軸（じく）として回転して

　　 できる立体の体積は、三角形ＡＢＤ を２点Ａ，Ｄ を通る直線を

　　 軸として回転できる立体の体積の何倍ですか。ただし、円すい

　　 の体積は、【底面の円の面積】　×　【高さ】　÷　３　で求める

　　 ことができます。

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解答

　（１）三角形ＡＢＣ の面積が三角形ＤＥＦ の面積の７倍なので、

三角形ＤＥＦ の面積を ① とすると、三角形ＡＢＣ の面積は ⑦ 、

さらに、ＢＦ ＝４ｃｍ、ＣＦ ＝３ｃｍ なので、三角形ＡＢＣ は、下の

図２のように、三角形ＡＢＦ の面積は ④、三角形ＡＣＦ の面積は

③ のように考えることができます。

　　　　

次に、三角形ＡＢＤ と三角形ＡＥＤ は合同なので、同じ面積です。

この部分は、下の図３のように、①＋④＝⑤ の面積なので、

　　　　

それぞれの三角形の面積は、下の図４のようになります。

　　　　

図４より、ＢＤ ： ＤＦ ＝ ２．５　：　１．５　＝　５　：　３ なので、

　　　　　  ＢＤ ＝ ２．５ｃｍ、ＤＦ ＝ １．５ｃｍ 

また、ＡＥ ＝ ６ｃｍ で、ＡＦ ： ＦＥ ＝ １．５ ： １ ＝ ３　：　２ なので、

　　　　　　ＡＦ ＝ ３．６ｃｍ、ＦＥ ＝ ２．４ｃｍ

と求められます。

　（２）三角形ＡＣＤ と三角形ＡＢＤ の面積比は、

　　　　　４．５　：　２．５　＝　９　：　５ とわかります。

２つの三角形は、辺ＡＤ が共通なので、辺ＡＤ を底辺としたとき、

２つの三角形の高さの比 が ９　：　５ ということになります。

下の図５のように、頂点Ｃ，Ｂ から辺ＡＤ へ垂線を引き、交点を

それぞれＧ，Ｈ とすると、ＣＧ ： ＢＨ ＝ ９ ： ５ です。

　　　　

２つの三角形を辺ＡＤ の周りに回転させると、三角形ＡＣＤ の方は

ＣＧ を半径とする円を半径とした、高さ＝ＡＧ とＤＧ の三角すいを

合わせたものになります。

ここで、下の図６，７ を用意しました。

図６の体積は、

　 ２×２×３．１４×４÷３＋２×２×３．１４×５÷３

＝２×２×３．１４×（４＋５）÷３

＝２×２×３．１４×９÷３

となって、図７の円すいの体積を求める式と同じ式になります。

三角形ＡＢＤ についても、下の図７，８を考えると、

図８の体積は、

　 ２×２×３．１４×（９＋５）÷３－２×２×３．１４×５÷３

＝２×２×３．１４×（１４－５）÷３

＝２×２×３．１４×９÷３

となって、図７の円すいの体積を求める式と同じ式になります。

このことから、三角形ＡＣＤ と三角形ＡＢＤ を辺ＡＤ を軸として

回転させてできる立体の体積は、下の図９のように、辺ＡＤ を

高さとして、半径の比が５：９の円すいの体積として求められ、

　　　

　三角形ＡＣＤ を回転させた立体　→　９×９×３．１４×ＡＤ÷３

　三角形ＡＢＤ を回転させた立体　→　５×５×３．１４×ＡＤ÷３

となるので、２つの立体の体積比は、８１：２５ となります。

よって、三角形ＡＣＤ を２点Ａ，Ｄ を通る直線を軸として回転して

できる立体の体積は、三角形ＡＢＤ を２点Ａ，Ｄ を通る直線を

軸として回転できる立体の体積の

　 ８１÷２５＝３．２４倍 となります。

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