積み木の問題 第２４問 （投影図） （渋谷教育学園幕張中学 2012年（平成24年度） 入試問題 算数）

問題　（渋谷教育学園幕張中学　2012年　入試問題　算数）

　　　　 難易度★★★　　

　１辺の長さが１ｃｍの立方体Ａ が２０個あります。この立方体Ａ

２０個を、面と面がちょうど重なるように置いて、新しく立体Ｂ を

作りこの立体Ｂ の表面に、底の面も含めて青色をぬります。

下の図１は、作った立体Ｂ を真上から見た図で、図２は真正面

から見た図です。

　

ただし、図１と図２から考えられる立体Ｂ は、青色をぬった面積が

できるだけ大きくなるように作りました。このとき、次の問に答え

なさい。

（１）図１には、積み重ねられている立方体Ａ の個数がいくつか

　　 書いてあります。図１に残りの数をすべて記入しなさい。

（２）積み上げた立体Ｂ を元の立方体Ａ にもどしました。このとき

　　 ２０個の立方体Ａ で色がぬられている面の個数を答えなさい。

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解答

　（１）図１と図２からわかる情報を元にすると、下の図３、図４の

ようになり、２０個のうちの残り６個が灰色の部分となります。

　

立体Ｂ の表面積が最も大きくなる積み方は、灰色の部分を

下の図５のように、４-２に並べたときです。

　　　　　　　　

　（２）ぬられている面を数える方法ではなく、

全体から、ぬられていない面を引く方法で考えてみます。

ぬられていない面は、面と面が重なり合っているところで、

下の図６のように、左側の緑の部分では、４個重なっている

ところには、３ヵ所あり、１個と４個がとなりあっているので

境界に１ヵ所あることになり、すべて書き込みました。

立方体Ａ は２０個あるので、面の数は２０×６＝１２０ あり、

重なっている部分は、図６より、２３ヵ所あることがわかるので、

１ヵ所につき２面、色がぬられていないので、２０個の立方体Ａ

のうち、色がぬられている面の個数は、

　１２０－２３×２＝７４面 とわかります。

全体から、それ以外の部分を除くという手法も使ってみましょう。

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