立体図形の切り口 第４２問 切断四角柱 （女子学院中学 2012年、桜蔭中学 2012年 中学入試問題 算数）

問題　（女子学院中学　2012年、 桜蔭中学　2012年　

　　　　 中学入試問題　算数）　難易度★★★

【　１　】

　直方体をななめに切断してできた下の図Ａの立体の体積と

四角形ＡＢＣＤ の面積をそれぞれ求めなさい。

（影をつけた部分は切断した面です）　

　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（女子学院中学　2012年）　

【　２　】

　下の図Ｂのような直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあり、ＡＤ＝６ｃｍ、

ＡＢ＝ＢＦ＝８ｃｍです。また、長方形ＡＥＨＤ，長方形ＢＦＧＣ の

対角線ＡＨ，ＢＧ の長さはともに１０ｃｍ です。

　　　　

３点Ｐ，Ｑ，Ｒは同時に頂点Ａを出発し、それぞれ一定の速さで

次のように動きます。

点Ｐは長方形ＡＢＣＤの周上を

　 Ａ　→　Ｂ　→　Ｃ　→　Ｄ　→　Ａ　→　Ｂ　→　・・・

点Ｑは長方形ＡＢＧＨの周上を

　 Ａ　→　Ｂ　→　Ｇ　→　Ｈ　→　Ａ　→　Ｂ　→　・・・

点Ｒは長方形ＡＥＦＢの周上を

　 Ａ　→　Ｅ　→　Ｆ　→　Ｂ　→　Ａ　→　Ｅ　→　・・・

点Ｐの速さは毎秒２ｃｍ、点Ｑの速さは毎秒２．５ｃｍです。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）点Ｐと点Ｑが初めて重なるのは、同時に頂点Ａを出発してから

　　 何秒後ですか。

（２）点ＲはＰ，Ｑと同時に頂点Ａを出発してから正方形ＡＥＦＢの

　　 周上を１周し終える前に、Ｐと初めて出会いました。その

　　 ちょうど１秒後に、ＰとＱは初めて重なりました。点Ｒの速さは

　　 毎秒何ｃｍですか。

（３）３点が同時に頂点Ａを出発してから、Ｑが初めて頂点Ｇ に

　　 着いたときの３点Ｐ，Ｑ，Ｒ を通る平面で直方体を切った

　　 とき、頂点Ｂを含む立体の体積を求めなさい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（桜蔭中学　2012年）

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解答

【　１　】

　図Ａ で、切断された直方体の４つの辺の高さのうち、ＣＤ 以外の

３辺が、１５ｃｍ、５１ｃｍ，７１ｃｍ となっていることから、

ＣＤ の長さは、１５ｃｍから、５１ｃｍ→７１ｃｍ のように２０ｃｍ増え、

３５ｃｍ とわかります。

　（または、１５ｃｍ　→　５１ｃｍ のように３６ｃｍ増えると７１ｃｍ

　 になるので、７１－３６＝３５ｃｍ としても求められます）

よって、台形ＡＢＣＤ の面積は、

　（３５＋７１）×４８÷２＝２５４４ｃ㎡ です。

次に、立体の体積ですが、切断された立体の体積は、

　 【　底面積　】　×　【　平均の高さ　】　として求めることができ、

平均の高さは、（１５＋３５＋５１＋７１）÷４＝４３ｃｍ なので、

立体の体積は、

　 ４８×１５×４３＝３０９６０ｃ㎥ と求められます。

なお、平均の高さは単に、対角にあたる、【７１ｃｍと１５ｃｍ】や

【５１ｃｍと３５ｃｍ】の平均で求めることもできます。　

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【　２　】

　桜蔭では 2011年にも立体の切断の問題がありました。

　（　参照　→　桜蔭中学　2011年　立体図形問題　）

昨年の問題の考え方が使える問題ですが、その前に

点の移動をからめた複合問題です。

　（１）下の図１のように、点Ｐは１周２８ｃｍ、点Ｑは１周３６ｃｍの

コースを、それぞれ毎秒２ｃｍ、２．５ｃｍで周ります。

Ｐは、２８÷２＝１４秒で１周し、Ｑは３６÷２．５＝１４．４秒で

１周して頂点Ａに戻ります。

ほとんど変わらない時間なので、１周後、Ｂまでの間に

点Ｑが点Ｐに追いつくのではないかと考えると、

　　点Ｐは　８ｃｍ ÷２　　　＝４秒

　　点Ｑは、８ｃｍ ÷２．５　＝３．２秒

なので、追いつくことがわかります。

点Ｐは、点Ｑより、１４．４－１４＝０．４秒 先に頂点Ａを出発した

と考えて、０．４秒×毎秒２ｃｍ＝０．８ｃｍ 点Ｑより先にいます。

よって、ＱがＰに追いつくのは、０．８÷（２．５－２）＝１．６秒後

で、点Ｐと点Ｑが初めて重なるのは、１４．４＋１．６＝１６秒後

とわかります。

　（２）点Ｐと点Ｒが初めて出会うのは、出発してから１５秒後で、

その位置は、点Ｐが ２×１５＝３０ｃｍ進んだ場所なので、

頂点Ａから頂点Ｂ方向へ２ｃｍの場所です。

よって、点Ｒは、Ａ　→　Ｅ　→　Ｆ　→　Ｂ　→　Ａ　の順に

１辺８ｃｍの正方形ＡＥＦＢの周上を移動するので、

１５秒間に８×４－２＝３０ｃｍ 進んだことになり、速度は

毎秒２ｃｍ とわかります。

　（３）点Ｑが頂点Ｇに着くのは、１８÷２．５＝７．２秒後 で、

点Ｐ、点Ｒはそれぞれ毎秒２秒の速さなので、

　 ７．２×２＝１４．４ｃｍ 移動していて、下の図２のように

　　　　　

点Ｐは、頂点Ｃ から頂点Ｄ 方向へ ０．４ｃｍ の位置

点Ｑは、頂点Ｅ から頂点Ｆ 方向へ ６．４ｃｍ の位置

　　　　（頂点Ｆから頂点Ｅ 方向へ １．６ｃｍ の位置）

となり、切り口は下の図３のようになります。

　　　　　

辺ＡＢ上の切り口の点Ｓは、ＰＳ とＱＲ が平行で、ＦＲ＝１．６ｃｍ、

ＣＰ＝０．４ｃｍ なので、ＢＳ＝０．４＋１．６＝２ｃｍ の位置になり、

頂点Ｂ を含む立体の形がわかります。

この立体は、面ＢＣＧＦ を底面として置くと、

下の図４のように切断四角柱（直方体）とわかります。

　　　　　

高さの平均が

　 （０＋０．４＋１．６＋２）÷４＝１ｃｍ なので、

体積は、底面積×平均の高さ から求めると

　 ８×６×１＝４８ｃ㎥ となります。

　（　参考　→　切断された三角柱の体積の求め方　）

　女子学院中学の過去問題集は　→　こちら

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