規則性の問題 ｎ進法 第８問 （ラ・サール中学 2012年（平成24年度） 受験問題 算数）

問題　（ラ・サール中学　2012年　受験問題　算数）　難易度★★★

どの位にも「１」と「７」の数字が現れない整数を２から小さい順に

　　 ２，３，４，５，６，８，９，２０，２２，２３，２４，２５，２６，２８，・・・

と並べます。これについて、次の問に答えなさい。

（１）このような２ケタの整数 ２０，２２，２３，・・・，９９ は何個

　　 ありますか。

（２） ９９９ は何番目の整数ですか。

（３）２０１２番目の整数を答えなさい。

---------------------------------------------

---------------------------------------------

解答

　（１）使う数字が ２，３，４，５，６，８，９，０ の８種類なので

【８進法】として考えることができます。

　２，３，４，５，６，８，９，０ を

　１，２，３，４，５，６，７，０ として見なします。

つまり、「７」の次は「１０」 です。

　２０，２２，２３，２４，２５，２６，２８，２９，３０ は

　１０，１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，２０ となります。

２０～９９ までの個数は、１０～７７までの個数となり、

１０～１７ → ８個　、２０～２７ → ８個　・・・　７０～７７ → ８個

　　　　　　　　８×７＝５６個 とわかります。

　（２）９９９は、【８進法】では、７７７となります。

【Ｎ進法】での数の数え方は、

　１０進法では、１７　→　１０×１＋７＝１７番目

　　８進法では、１７　→　　８×１＋７＝１５番目

　１０進法では、１１１　→　１０×１０×１＋１０×１＋１＝１１１番目

　　８進法では、１１１　→　８×８×１＋８×１＋１＝７３番目

のようになります。

　（１，２，３，４，５，６，７，１０，１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７）

【８進法】の７７７は、

　百の位は ８×８×７＝４４８

　十の位は ８×７＝５６

　一の位は ７

最初から数えて、４４８＋５６＋７＝５５１番目 とわかります。

　（３）【８進法】で ２０１２番目の整数は、

２０１２÷（８×８×８）＝３あまり４７６

　４７６÷（８×８）　　 ＝７あまり２８

　　２８÷８　　　　　　 ＝３あまり４

より、「３７３４」です。これを【１０進法】に戻すと、「４９４５」

となります。

　＜別解＞

（１）２ケタの整数は、

　　　２０～２９　→　２１，２７を除いた８個

　　　３０～３９　→　３１，３７を除いた８個

　　　４０～４９　→　８個

　　　５０～５９　→　８個

　　　６０～６９　→　８個

　　　７０～７９　→　なし

　　　８０～８９　→　８個

　　　９０～９９　→　８個

以上より、８×７＝５６個 です。

　（２）１００～１９９　→　なし

　　　 ２００～２９９　→　（１）の５６個＋２００～２０９の８個＝６４個

　　　 ３００～３９９　→　５６＋８＝６４個

　　　 ４００～４９９　→　５６＋８＝６４個

　　　 ５００～５９９　→　５６＋８＝６４個

　　　 ６００～６９９　→　５６＋８＝６４個

　　　 ７００～７９９　→　なし

　　　 ８００～８９９　→　５６＋８＝６４個

　　　 ９００～９９９　→　５６＋８＝６４個

以上より、１ケタの数は、２，３，４，５，６，８，９ の７個しかない

ことに注意して、９９９は、６３＋６４×７＝５１１番目 です。

　（３）２～９９９までに５１１個あることがわかりました。

１０００台はないので、

２０００～２９９９までに５１１＋１（２０００）＝５１２個あります。

３０００～３９９９までにも、５１２個あります。

４０００～４９９９までにも、５１２個あります。

ここで、５０００は、５１１＋５１２＋５１２＋５１２＋１＝２０４８番目で、

２０１２番目の整数は、この３６個前になります。

９０～９９　→　８個

８０～８９　→　８個

７０～７９　→　なし

６０～６９　→　８個

５０～５９　→　８個　ここまで３２個

４９，４８，４６，４５ なので、４９４５が２０１２番目の整数です。　

　ラ・サール中学の過去問題集は　→　こちら

　ラ・サール中学の他の問題は　→　こちら