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2012年2月 7日 (火)

規則性の問題 n進法 第8問 (ラ・サール中学 2012年(平成24年度) 受験問題 算数)

 

問題 (ラ・サール中学 2012年 受験問題 算数) 難易度★★★

 

どの位にも「1」と「7」の数字が現れない整数を2から小さい順に

   2,3,4,5,6,8,9,20,22,23,24,25,26,28,・・・

と並べます。これについて、次の問に答えなさい。

 

(1)このような2ケタの整数 20,22,23,・・・,99 は何個

   ありますか。

(2) 999 は何番目の整数ですか。

(3)2012番目の整数を答えなさい。

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解答

 (1)使う数字が 2,3,4,5,6,8,9,0 の8種類なので

【8進法】として考えることができます。

 

 2,3,4,5,6,8,9,0 を

 1,2,3,4,5,6,7,0 として見なします。

つまり、「7」の次は「10」 です。

 

 20,22,23,24,25,26,28,29,30 は

 10,11,12,13,14,15,16,17,20 となります。

 

20~99 までの個数は、10~77までの個数となり、

10~17 → 8個 、20~27 → 8個 ・・・ 70~77 → 8個

        8×7=56個 とわかります。

 

 (2)999は、【8進法】では、777となります。

【N進法】での数の数え方は、

 10進法では、17 → 10×1+7=17番目

  8進法では、17 →  8×1+7=15番目

 10進法では、111 → 10×10×1+10×1+1=111番目

  8進法では、111 → 8×8×1+8×1+1=73番目

のようになります。

 (1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17)

 

【8進法】の777は、

 百の位は 8×8×7=448

 十の位は 8×7=56

 一の位は 7

最初から数えて、448+56+7=551番目 とわかります。

 

 (3)【8進法】で 2012番目の整数は、

2012÷(8×8×8)=あまり476

 476÷(8×8)   =あまり28

  28÷8       =あまり

より、「3734」です。これを【10進法】に戻すと、「4945

となります。

 

 

 <別解>

(1)2ケタの整数は、

   20~29 → 21,27を除いた8個

   30~39 → 31,37を除いた8個

   40~49 → 8個

   50~59 → 8個

   60~69 → 8個

   70~79 → なし

   80~89 → 8個

   90~99 → 8個

以上より、8×7=56個 です。

 

 (2)100~199 → なし

    200~299 → (1)の56個+200~209の8個=64個

    300~399 → 56+8=64個

    400~499 → 56+8=64個

    500~599 → 56+8=64個

    600~699 → 56+8=64個

    700~799 → なし

    800~899 → 56+8=64個

    900~999 → 56+8=64個

以上より、1ケタの数は、2,3,4,5,6,8,9 の7個しかない

ことに注意して、999は、63+64×7=511番目 です。

 

 (3)2~999までに511個あることがわかりました。

1000台はないので、

2000~2999までに511+1(2000)=512個あります。

3000~3999までにも、512個あります。

4000~4999までにも、512個あります。

 

ここで、5000は、511+512+512+512+1=2048番目で、

2012番目の整数は、この36個前になります。

 

90~99 → 8個

80~89 → 8個

70~79 → なし

60~69 → 8個

50~59 → 8個 ここまで32個

49,48,46,45 なので、4945が2012番目の整数です。 

 

 

 ラ・サール中学の過去問題集は → こちら

 ラ・サール中学の他の問題は → こちら

 

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