平面図形の角度 第７５問 （北嶺中学 2007年、栄東中学 2009年、鎌倉学園中学 2012年 受験問題 算数）

問題　（北嶺中学　2007年、栄東中学　2009年、

　　　　 鎌倉学園中学　2012年　受験問題　算数）　難易度★★★

（１）下の図アにおいて、三角形ＡＢＣが正三角形のとき、

　　　 角ＡＤＦの大きさを求めなさい。

　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　（北嶺中学　2007年、栄東中学　2009年）

（２）下の図イのような ＡＢ＝ＡＣ の二等辺三角形ＡＢＣ が

　　 あります。このとき、角ＤＦＥ の大きさを求めなさい。

　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（鎌倉学園中学　2012年）

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解答

　（１）三角形ＢＣＥにおいて、

　　　　　角ＣＢＥ＝１８０－（２０＋３０＋５０）＝８０°

なので、角ＡＢＤ＝１８０－（８０＋６０）＝４０°です。

　三角形ＤＥＣにおいて、角ＣＤＥ＝１８０－（６０＋８０）＝４０°

と求められるので、三角形ＢＣＤは二等辺三角形とわかり、

ＢＣ＝ＢＤ です。

　　　　　　　　

上の図１のように、三角形ＡＢＤも二等辺三角形になるので、

　 角ＡＤＢ＝（１８０－４０）÷２＝７０° で、

　 角ＡＤＦ＝７０－４０＝３０° と求められます。

　（２）まず、わかる角度を書いていきましょう。

三角形ＡＢＣ が二等辺三角形なので、角ＢＣＥ ＝２０°、

角ＣＢＦ ＝５０°、三角形ＢＣＤ の内角の和より、角ＢＤＣ ＝４０°

三角形ＢＣＦ の内角の和より、角ＢＦＣ ＝５０°と求められ、

下の図２のように、三角形ＢＣＤ，三角形ＢＣＦ が二等辺三角形

ということがわかります。

　　　　　　

また、三角形ＢＣＥ の内角の和より、角ＢＥＣ ＝８０°なので、

三角形ＢＣＥ も二等辺三角形で、図２の赤線と青線は同じ長さ

ということになります。

よって、下の図３のように、三角形ＣＥＦ は正三角形で、

　　　　 角ＣＥＦ ＝６０°、角ＤＥＦ ＝１８０－（８０＋６０）＝４０°

三角形ＤＥＦ は、ＤＥ＝ＦＥ の二等辺三角形なので、

　　　求める角ＤＦＥ ＝（１８０－４０）÷２＝７０°です。

　  　　　　

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