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2012年1月23日 (月)

計算問題 第67問 (約束記号) (渋谷教育学園幕張中学 2012年(平成24年度) 入試問題 算数)

 

問題 (渋谷教育学園幕張中学 2012年 入試問題 算数)

     難易度★★★

 

 整数A の各位の数を1けたの整数になるまで足した値を

<A>で表すことにします。たとえば、<48>=4+8=12、

1+2=3 なので、<48>=3 です。このとき、次の問に

答えなさい。

 

(1)<10>+<11>+<12>+<13>+<14>+<15>

        +<16>+<17>+<18>+<19>

   を求めなさい。

(2)<A>=5 となる3ケタの整数A は全部で何個ありますか。

 

---------------------------------------------

---------------------------------------------

解答

 (1)<10>=1+0=1

   <11>=1+1=2

   <12>=1+2=3

   <13>=1+3=4

   ・・・・・・・・・・・・・・・・・

   <18>=1+8=9

   <19>=1+9=10 → 1+0=1

となるので、すべて合計すると、

 1+2+3+4+5+6+7+8+9+1

=(1+9)×9÷2 +1

46 となります。

 

 (2) 3ケタの整数A を「 ○△□ 」 とすると、

     ○+△+□ = 5 

となる場合と、

     ○+△+□ = 2ケタの数 「 ☆▽ 」 

     ☆+▽ =5

となる場合が考えられます。

 

○+△+□ = 最高で、9+9+9=27 なので、

   ☆+▽ = 再び2ケタ → 5 となることはありません。

【(1)で<10>~<19>は計算済みで、

      <20>~<27>=2~9となるので】

 

○+△+□ = 5 となるのは、

(○△□)=104,140,410,401

        113,131,311、

        122,212,221、

        203,230,302,320、

        500

15個 があります。

 

○+△+□ = 2ケタの整数☆▽ 

   ☆+▽ = 5 となる2ケタの整数☆▽は、10~27までで、

☆▽ = 14,23 の2種類があります。

 

☆▽ = 14 となる3ケタの整数A は、

 0,5,9 を用いる4種類(509,590,905,950)

 0,6,8 を用いる4種類

 0,7,7 を用いる2種類(707,770)

 1,4,9 を用いる6種類(149,194,419,491,914,941)

 1,5,8 を用いる6種類

 1,6,7 を用いる6種類

 2,3,9 を用いる6種類

 2,4,8 を用いる6種類

 2,5,7 を用いる6種類

 2,6,6 を用いる3種類(266,626,662)

 3,3,8 を用いる3種類

 3,4,7 を用いる6種類

 3,5,6 を用いる6種類

 4,4,6 を用いる3種類

 4,5,5 を用いる3種類

以上、4+4+26×8+3×4=70個 あります。

 

☆▽ = 23 となる3ケタの整数A は、

 5,9,9 を用いる3種類

 6,8,9 を用いる6種類

 7,7,9 を用いる3種類

 7,8,8 を用いる3種類

以上、3×3+6=15個 あります。

 

よって、【 A 】=5 となる3ケタの整数A は、

 15+70+15=100個 あります。

 

「0」を含むものを数えもらさないよう気をつけましょう。

 

 

 <別解1>

各位の和が5,14,23になる場合についての考え方です。

 

まず、百の位を「1」とします。

和が5の場合は、残り「4」なので、十の位と一の位は、

  (04,13,22,31,40)の5通り

和が14の場合は、残り「13」なので、十の位と一の位は、

  (49,58,67,76,85,94)の6通り

和が23の場合は、残り「22」なので、百の位が「1」では、0通り

 

百の位を「2」とすると、

和が「5」の場合は、残り「3」なので、十の位と一の位は、

  (03,12,21,30)の4通り

和が「14」の場合は、残り「12」なので、十の位と一の位は、

  (39,48,57,66,75,84,93)の7通り

和が「23」の場合は、残り「21」なので、百の位が「2」でも、0通り

 

百の位を「3」とすると、

和が「5」の場合は、残り「2」なので、十の位と一の位は、

  (02,11,20)の3通り

和が「14」の場合は、残り「11」なので、十の位と一の位は、

  (29,38,47,56,65,74,83,92)の8通り

和が「23」の場合は、残り「20」なので、百の位が「3」でも、0通り

 

百の位を「4」とすると、

和が「5」の場合は、残り「1」なので、十の位と一の位は、

  (01,10)の2通り

和が「14」の場合は、残り「10」なので、十の位と一の位は、

  (19,28,37,46,55,64,73,82,91)の9通り

和が「23」の場合は、残り「19」なので、百の位が「4」でも、0通り

 

百の位を「5」とすると、

和が「5」の場合は、残り「0」なので、十の位と一の位は、

  (00)の1通り

和が「14」の場合は、残り「9」なので、十の位と一の位は、

  (09,18,27,36,45,54,63,72,81,90)の10通り

和が「23」の場合は、残り「18」なので、百の位と一の位は、

  (99)の1通り

 

百の位を「6」とすると、

和が「5」の場合は、百の位が6以上になると、0通り

和が「14」の場合は、残り「8」なので、十の位と一の位は、

  (08,17,26,35,44,53,62,71,80)の9通り

和が「23」の場合は、残り「17」なので、十の位と一の位は、

  (89,98)の2通り

 

百の位を「7」とすると、

和が「14」の場合は、残り「7」なので、十の位と一の位は、

  (07,16,25,34,43,52,61,70)の8通り

和が「23」の場合は、残り「16」なので、十の位と一の位は、

  (79,88,97)の3通り

 

百の位を「8」とすると、

和が「14」の場合は、残り「6」なので、十の位と一の位は、

  (06,15,24,33,42,51,60)の7通り

和が「23」の場合は、残り「15」なので、十の位と一の位は、

  (69,78,87,96)の4通り

 

百の位を「9」とすると、

和が「14」の場合は、残り「5」なので、十の位と一の位は、

  (05,14,23,32,41,50)の6通り

和が「23」の場合は、残り「14」なので、十の位と一の位は、

  (59,68,77,86,95)の5通り

 

以上より、

  和が「5」の場合は、5+4+3+2+1=15

  和が「14」の場合は、6+7+8+9+10+9+8+7+6=70

  和が「23」の場合は、1+2+3+4+5=15

それぞれ作ることができるので、合計すると、

  15+70+15=100個 となります。

 

 

 <別解2>

<X>は、整数X を 9 で割った余りに等しくなるという性質が

あります。

 

<48>は、48÷9=5あまり3 で、<48>=3 と一致します。

不思議ですね。

 

<A>=5 となる3ケタの整数は、

99=9×11、999=9×111 が9の倍数であることから、

99+5=104(11番目) から、 999-4=995(110番目)まで、

   110-(11-1)=100個

あることがわかります。  

  

 

 渋谷教育学園幕張中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園幕張中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

(1)について、1から9までの整数の総和は(1+9)×9÷2=45なので、45+1=46が正しい答えになります。
(2)については私は別の考え方をしました。
各桁の総和が5の場合は百の位が1の場合は104から考えて113、122、131、140で5個。
百の位が2の場合は203から230まで4個…といったように百の位で場合分けして考えました。
各桁の総和が5の場合は5+4+3+2+1=15個
各桁の総和が14の場合は6+7+8+9+10+9+8+7+6=70個
各桁の総和が23の場合は1+2+3+4+5=15個
全部合わせて15+70+15=100個と考えました。

投稿: 万打無 | 2012年1月24日 (火) 00時40分

万打無さま、コメントありがとうございます。
ご指摘のとおり、計算がおかしなことになって
おりました。ご指摘ありがとうございます。

(2)の解法も別解として掲載させていただきました。
またお気づきの点がございましたら、
コメントよろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2012年1月24日 (火) 16時54分

渋谷幕張中学を受験した者ですが、この問題、
がXを9で割った余りになるんですよね。
そこで、(2)は範囲が104~995、差が9の等差数列と考えると…
(995-104)÷9+1=100
となり、場合に分けて調べるよりずっと早く解けると思うのですがどうでしょうか。

投稿: よっしぃ | 2012年1月26日 (木) 07時57分

すいません、↑の回答のなかで
<X>が表示されてませんでした。
訂正として
「この問題、<X>がXを9で割った…」というように捉えてください。

投稿: よっしい | 2012年1月26日 (木) 08時01分

よっしぃ様、コメントありがとうございます。
 
<X>がXを9で割ったあまりになるとは
気付きませんでした。試験中にそれを発見した
となると、すごいですね。他の受験生より
かなり時間的に余裕ができたのではないでしょうか。

新しい着眼点として、掲載させていただきました。

また、お気づきの点がございましたら、コメント
よろしくお願いいたします。

投稿: 桜組 | 2012年1月30日 (月) 17時37分

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