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2012年1月 6日 (金)

積み木の問題 第23問 (立教新座中学 2011年 入試問題 算数)

 

問題 (立教新座中学 2011年 入試問題 算数) 難易度★★★

 

下の図1は、スイッチの入れ方によって透明になったり、不透明

になったりする1辺10cmの立方体の装置を表しています。

この装置を図2のように、たて、横、高さ6個ずつすき間なく

積み重ねて立体を作ります。

Pic_2690q

この立体を机の上に置き、それぞれの立方体のスイッチの

入れ方でいろいろな立体を表すものとします。このとき、次の

問に答えなさい。

 

(1)下の図3のような立体を表すとき、透明な立方体は最低何個

   ありますか。また、最大何個ありますか。ただし、どの側面

   から見ても図3のような見取り図になるものとします。

Pic_2691q

(2)下の図4のように、8個の立方体以外をすべて透明にして、

   1辺20cmの立方体を表すものとします。このとき、図2の

   立体の中における図4の立方体の位置は全部で何通り

   ありますか。

             Pic_2692q

(3)上から見て下の図5のように見えるとき、透明な立方体は

   最低何個ありますか。

      Pic_2693q

(4)どの方向から見ても図5のように見えるとき、透明な立方体は

   最低何個ありますか。

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解答

 (1)図2の立方体を作る小さい立方体の個数は、

      6×6×6=216個 です。

 

図3の立体について、上から1段目~6段目とします。

   1段目と2段目に、2×2×2=8個

   3段目と4段目に、4×4×2=32個

   5段目と6段目に、6×6×2=72個

の立方体が残っているとき、透明な立方体の個数が最も少なく、

 216-(8+32+72)=104個 です。

 

また、図3の立体の内部にさらに透明な立方体があると考える

ことができます。

 3段目と4段目に、1段目と2段目と等しい8個、

 5段目と6段目に、3段目と4段目と等しい32個

が透明なとき、透明な立方体の個数は最多となり、

  104+8+32=144個 です。

 

 (2)図2の立方体の正面に図4の立方体を置くことを考えると、

下の図6のように、たて、横それぞれ5通りずつの配置を考える

ことができるので、5×5=25通り の置き方があります。

      Pic_2694a

さらに、図2の立方体の置くへ、5通りの配置を考えることが

できます。(輪切りにしていくイメージ)

よって、立方体の位置は、25×5=125通り あります。

 

 (3)透明な立方体の数が最も少ないのは、透明な部分が

図5の中央の12個×6=72個 だけのときです。

 

 (4)どの方向から見ても図5のように見えるには、

すべての面に図5のような12個の透明な立方体が

必要なので、(3)の72個に加えて、12×4面=48個

が透明になります。

 

さらに、下の図7の青い部分の立方体が、2個×4か所=8個

透明にならなければ、すべての方向から図5のようには見えま

せん。

 Pic_2695a

よって、どの方向から見ても図5のように見えるには、

透明な立方体は、最低で

  72+48+8=128個 必要です。

 

 

 立教新座中学の他の問題は → こちら

 立教新座中学の過去問題集は → こちら

 

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