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2012年1月24日 (火)

点の移動 第31問 (渋谷教育学園幕張中学 2009年(平成21年度) 受験算数問題)

 

問題 (渋谷教育学園幕張中学 2009年 受験算数問題) 

     難易度★★★

 

 下の図はすべての辺の長さが3cmの立体です。下の面は

六角形ABCDEFで、上の面は三角形HIGです。

点Pが六角形ABCDEFの辺上をA→B→C→D→E→F→A→・・・

点Qが三角形HIGの辺上をH→I→G→H→・・・の順に、それぞれ

一定の速さで動きます。はじめに点P,Qは頂点A,Hをそれぞれ

同時に出発します。また、点P,Qが同じ辺の頂点にきたとき、

それを「会合」と呼ぶことにします。たとえば、点Pが頂点A,

点Qが頂点Gに同時にいるときは、「会合」です。このとき、

次の問に答えなさい。

       Pic_0455_2

(1)点Pが秒速2cm、点Qが秒速4cmで移動すると、「会合」は

   1度も起こりません。その理由を説明しなさい。

(2)点P,点Qともに秒速3cmで移動するとき、

   101回目の「会合」は何秒後か答えなさい。

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解答

 (1)点P,点Qの速度の比は2:4=1:2なので、

点Pが3cm移動する(次の頂点へ移動する)間に、

点Qは6cm移動、すなわち、2つ頂点を移動します。

点PがA→B→C→D→E→F→A→ ・・・と移動するときに

点QはH→G→I→H→G→ I→H→ ・・・と移動します。

  

この移動がくり返されると、

点QがHにいるとき、点PがB,Cにいることはなく、

点QがIにいるとき、点PがD,Eにいることはなく、

点QがGにいるとき、点PがF,Aにいることはないので、

「会合」が起こることはありません。

   

 (2)点P,Qともに秒速3cmで移動するので、

点PがA→B→C→D→E→F→A→ ・・・と移動するときに

点QはH→ I→G→H→ I→G→H→ ・・・と移動します。

 

「会合」が起こるのは、点PがEにいて、点QがIにいるときと

点PがFにいて、点QがGにいるときで、点Pが六角形ABCDEFを

1周する間に2回起こるということです。1周には6秒かかり、

100回の「会合」が起こるまでに点Pは50周するので、

6×50=300秒 で、101回目は点PがEにきたときで、

A→B→C→D→Eまで4秒かかるので、101回目の会合は

300+4=304秒後 となります。

 

 

 渋谷教育学園幕張中学の過去問題集は → こちら

 渋谷教育学園幕張中学の他の問題は → こちら

 

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