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2012年1月29日 (日)

規則性の問題 数の並び 第48問 (鎌倉学園中学 2007年(平成19年度) 入試問題 算数)

 

問題 (鎌倉学園中学 2007年 入試問題 算数) 難易度★★★

 

1から9までの数字を順番に下のように、【 】に入れていき、

グループの名前を①、②、③、・・・ とつけます。

 ①【1】 ②【2,3】 ③【4,5,6】 ④【7,8,9,1】

 ⑤【2,3,4,5,6】 ⑥【7,8,9,1,2,3】

 ⑦【4,5,6,7,8,9,1】 ・・・

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)⑳の【 】に入る最初の数字を答えなさい。

(2)25回目に「 1 」が出るグループの番号を答えなさい。

(3)25回目に「 1 」が出るグループの【 】に入るすべての数の和

   を求めなさい。 

----------------------------------------------

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解答

 (1)9進法ですが、地道に書き出して解く方法をとると、

    ①【1】

    ②【2,3】

    ③【4,5,6】

    ④【7,8,9,1】

    ⑤【2,3,4,5,6】

    ⑥【7,8,9,1,2,3】

    ⑦【4,5,6,7,8,9,1】

    ⑧【2,3,4,5,6,7,8,9】

    ⑨【1,2,3,4,5,6,7,8,9】

    ⑩【1~1】

    ⑪【2~1,2,3】

    ⑫【4~3,4,5,6】

    ⑬【7~6,7,8,9,1】

    ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

グループの先頭と終わりの数は、

①~⑨のくり返しになることに気づきます。(9進法なので)

よって、⑳のグループの先頭の数字は、

      ②のグループと同じになり、「  」です。

 

 (2)①~⑨のくり返しなので、①~⑨に出てくる「 1 」の回数を

数えると、5回です。

 ⑩以降になると、それぞれ1回ずつ増えているので、

⑩~⑱までには、5+9=14回 「 1 」が出てくることがわかり、

   ⑱までに、5+14=19回です。

25回目まで、あと6回です。 

⑲では3回(①で1回、⑩で2回なので)

⑳では2回(②で0回、⑪で1回なので)

それぞれ「 1 」 が出てくるので、25回目に「 1 」が出る

グループの番号は、「 21 」とわかります。

 

 (3)21番目のグループは、③のグループと同じで、

最初の数が「 4 」、最後の数が「 6 」です。

すなわち、

 4,5,6,7,8,9,1,2,3,

 4,5,6,7,8,9,1,2,3,

 4,5,6

となっています。

 

これらの数の和は、1~9の和が2回と、4,5,6の合計で、

  (1+9)×9÷2×2+4+5+6=105 です。

 

 

 鎌倉学園中学の過去問題集は → こちら

 鎌倉学園中学の他の問題は → こちら

 

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