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2012年1月13日 (金)

点の移動 第30問 (筑波大学附属駒場中学 2007年(平成19年度) 入試問題 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2007年 入試問題 算数)

     難易度★★★★

 

下の図1のような対角線ABの長さが120cmの長方形を、

円柱に五重に巻きつけると、図2のように、円柱にらせん状に

巻きついた線ABができます。

Pic_2574q

    Pic_2575q

円柱にらせん状に巻きついた線AB上を、2点P,Q が、

A→B→A→B→A→・・・と往復します。点P,QがAから同時に

動き始め、点Pは毎秒5cm、点Qは毎秒3cmの速さで進むとき、

次の問に答えなさい。

 

(1)点Pと点Qが初めて出会うのは、動き始めてから何秒後

   ですか。

(2)円柱を真上から見ると、A,Bは重なって見え、点P,Qは

   1つの円周上を動きます。たとえば、動き始めてから1秒後

   には、下の図3のように見えます。

    Pic_2576q

  (ア)真上から見てA,B,P,Qが初めて重なって見えるのは、

     動き始めてから何秒後ですか。

  (イ)動き始めてから点Qが初めてBに到着するまでに、真上

     から見て、点Pと点Qは何回重なりますか。ただし、動き

     始めたときは回数に含めません。

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解答

 (1)下の図4のように、2点P,Qが、下のAを出発し、頂上Bを

越えてAに戻っていくと考えると、解きやすいと思います。

 Pic_2577a

すると、点Pと点Qが初めて出会うのは、

 (120+120)÷(3+5)=30秒後 です。

 

 (2)(ア)点P,QがAからBへ移動するのに、円柱を5周する

と考えると、1周=120÷5=24cm です。

 

点Pと点Qの差が、24cmの倍数になるときを考えます。

点Pは毎秒5cm、点Qは毎秒3cmなので、

  差が24cmになるのは、24÷(5-3)=12秒後

  差が48cmになるのは、48÷(5-3)=24秒後

のように、12の倍数秒後に点Pと点Qの差が24cmの倍数に

なります。

 

初めてA,B,P,Qが重なって見えるときを調べると、

  12秒後では、点Pは、12×5=60cm

          点Qは、12×3=36cm のところにいて、

          A,Bとは、ちょうど180度反対側にいます。

 24秒後では、点Pは、24×5=120cm (Bの場所)

          点Qは、24×3=72cm のところにいるので、

          A,B,P,Qが重なります。

よって、答えは24秒後です。

 

 (2)(イ)点Qが初めてBに到着するまでに、かかる時間は、

       120÷3=40秒です。

 

(ア)より、24秒後までに点PはBに到着し、2回重なって見えます。

Bに到着した点Pは、逆向きにAにことに注意すると、

1周24cmのところを点Pと点Qは逆向きに進むので、

   24÷(5+3)=3秒 ごとに重なることになります。

(40-24)÷3=5あまり1 なので、5回重なって見えます。

 

よって、点QがBに到着するまでに、真上から見ると

点Pと点Qは、2+5=7回 重なって見えます。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

問題文から考えると図2の円柱の側面の書かれた線は一周が120cmで5周すると一番上のBに到達するものだと思います。
よって(1)の答えは(120×5×2)÷(5+3)=150秒後。
(2)(ア)の答えは、Pが一周するのに24秒かかりQが一周するのに40秒かかるので、24と40の最小公倍数である120秒後が答えになると思います。

投稿: 万打無 | 2012年1月13日 (金) 23時12分

すみません。よく考えたら細い円柱に長方形を斜めに巻き付けたら確かに5周で120cmの道のりになりますね。
上の書き込みは私の勘違いでした。

投稿: 万打無 | 2012年1月13日 (金) 23時17分

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