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2012年1月16日 (月)

計算問題 第65問 (甲南中学 2003年(平成15年度) 算数受験問題)

 

問題 (甲南中学 2003年 算数受験問題) 難易度★★★

 

同じ整数を3回かけた数の答えは、次のような連続する

奇数の和に直すことができます。

  2×2×2=3+5、 3×3×3=7+9+11、

  4×4×4=13+15+17+19

このとき、次の問いに答えなさい。

 

 (1)7×7×7を連続する奇数の和に直しなさい。

 (2)20×20×20を連続する奇数の和に直したとき、

   その奇数の和の中で一番小さい奇数と一番大きい奇数を

   求めなさい。

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解答

 (1)2×2×2 → 3,5 の2個の奇数の和

    3×3×3 → 7~11 の3個の奇数の和

    4×4×4 → 13~19 の4個の奇数の和

となっているので、このことから、次のように考えられます。

    5×5×5 → 21~29 の5個の奇数の和

    6×6×6 → 31~41 の6個の奇数の和

    7×7×7 → 43~55 の7個の奇数の和

よって、43+45+47+49+51+53+55 です。

 

 (2)20×20×20 では、20個の奇数の和となることが

考えられます。

 

 2×2×2 の最初の3+5 の「3」を1番目とすると、

20×20×20 の最後の奇数は、

 2+3+4+・・・+20=(2+20)×19÷2=209番目 の

奇数ということがわかります。

 

3から数えて209番目の奇数は、209×2-1+2=419 で、

20個の奇数の和の最後が419とわかったので、

20個の奇数の和の最初の奇数は、419-2×19=381 です。

 

以上より、20×20×20 を連続する奇数の和に直したとき、

一番小さい奇数は381、一番大きい奇数は419 です。

 

 

<別解>

 (1)2×2×2=3+5             2個の奇数の和

    3×3×3=7+9+11         3個の奇数の和

    4×4×4=13+15+17+19    4個の奇数の和

という関係から、7×7×7は、7個の奇数の和になると考えます。

 

次に、

 2×2×2=3+5     3と5の平均は4、4=2×2

 3×3×3=7+9+11  7と9と11の平均は9、9=3×3

 4×4×4=13+15+17+19  13,15,17,19の平均は16=4×4

となっています。このことから、偶数の場合、

偶数を2回掛けたもの+1、+3、・・、-1、-3、・・

奇数の場合は

奇数を2回掛けたもの+2、+4、・・・、-2、-4、・・

の奇数の和で表せることがわかります。

よって、7×7×7は、7×7=49が奇数なので、49を中心に

43+45+47+49+51+53+55 の7個の奇数の和に

直せることになります。

 

 (2)(1)同様に考えると、20×20×20は、20個の奇数の和に

直せることになり、中心に、20×20=400なので、399,401の

2つの奇数がきて、左右に10個ずつ奇数が並びます。

399,401を含まずに奇数20個を並べると、

・・・⑨個・・・、399,401、・・・9個・・・ の20個が並び、

このうち一番小さい奇数は、399-9×2=381

このうち一番大きい奇数は、401+9×2=419 となります。

 

 

 甲南中学の他の問題は → こちら

 甲南中学の過去問題集は → こちら

 

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コメント

いつも丁寧な解説を有難うございます。

解答(1)の単純ミスを発見しました。

8行目 「よって、43+45+47+49+51+53です。」 となっています。 最後の+55がぬけています。

投稿: 幸兵衛 | 2012年1月23日 (月) 13時02分

幸兵衛さま、コメント&閲覧ありがとうございます。


ご指摘のとおり、解答に+55が抜けておりました。
訂正させていただきました。

またお気づきの点がございましたら、コメント
よろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2012年1月23日 (月) 16時56分

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