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2011年12月16日 (金)

有名な四面体 第7問 (市川中学 2011年(平成23年度) 受験問題 算数)

 

問題 (市川中学 2011年 受験問題 算数) 難易度★★★★

 

下の図のように、1辺3cmの立方体を下段に3個、上段に2個

すきまなくはり合わせます。また、4点A,B,C,Dを図のように

定めます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2685q

(1)4点A,B,C,D を結んでできる三角すいの体積を

  求めなさい。

(2)三角形BCD の面積を求めなさい。

(3)3点B,C,D を通る平面でこの立体を切断するとき、

  切り口の図形の面積を求めなさい。

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解答

 (1)底面が三角形ABC,高さADの三角すいの体積は、 

        3×3÷2×6÷3=9c㎥ です。

 

 (2)三角すいD-ABC の展開図は、下の図1のようになります。

( こちら を参照)

     Pic_2686a

よって、三角形BCD の面積は、

 6×6-(3×3÷2 + 3×6÷2×2)=13.5c㎡ です。

 

 (3)3点B,C,D を通る平面が、立体をどのように切断する

のかを考えましょう。

 

まず、下の図2のように赤線BD,青線CD と平行な線を

それぞれ頂点B,C を通るように引きます。

Pic_2687a

すると、図2のように赤線CG,青線BFを作れます。

この2本は、3点B,C,D を通る平面上にあります。(平行なので)

BE の部分は立方体がないので、実際は青線EF が含まれます。

(E はBFのまん中の点)

 

次に、下の図3のように、BCと平行な線をE,Fから引きます。

Pic_2688a

当然、Fから出た線はD,Gを通り、Eから出た線はBDと

H(BDのまん中の点)で交わります。

 

切り口は下の図4のようになります。

   Pic_2689a

三角形BEH と三角形BFD は相似で、相似比1:2 なので、

面積比は 1×1:2×2=1:4 なので、台形EFDHの面積は

三角形BFD の3/4 です。

 

よって、求める面積は、

 13.5 × ( 2+3/4 )= 37と1/8 (c㎡) です。

 

 

 市川中学の他の問題は → こちら

 市川中学の過去問題集は → こちら

 

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