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2011年12月 9日 (金)

場合の数 並べ方 第46問 (栄東中学 2011年(平成23年度) 入試問題 算数)

 

問題 (栄東中学 2011年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 横に並んだいくつかのマスに ○、△、× のいずれか1つを

記入するとき、となり合ったマスの少なくとも一方が○となる

ような記入の仕方を考えます。たとえば2つのマスであれば、

下の図の5通りがあります。

  Pic_2683q

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)条件をみたすように3マスに記入するとき、その記入の

   仕方は何通りありますか。

(2)条件をみたすように5マスに記入するとき、その記入の

   仕方は何通りありますか。

(3)条件をみたすように10マスに記入するとき、その記入の

   仕方は何通りありますか。

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解答

 (1)3マスに記入するときは、2マスのときに1マス増えたので、

下の図1のように、並べることができます。

        Pic_2684a

よって、3マスのときの記入の仕方は、3×3+2=11通り です。

 

 (2)(1)より、最後のマスが○のものは、次のマスが増えると

3倍になり(○、△、×にわかれる)、最後のマスが△または×の

ものは、次のマスは必ず○になるので増えないことがわかります。

 

図1では、2マスのとき、

  最後が○・・・3個 → 3×2=6個の△、×が生まれる。

                さらに、3個の○も生まれる。

  最後が△、×・・・2個 → 2個の○が生まれる。

 

3マスのとき、最後が○のものは、2マスのとき最後が○だった

ものから、同じ数だけでき、3通り、△、×のものの数(2通り)

と合わせて、5通り あることがわかり、最後が△、×のものは

2マスのとき最後が○だった3つから2通りずつできるので、

3×2=6通り あります。

 

4マスのとき、最後が○のものは、5+6=11通り でき、

△、×のものは、5×2=10通り です。

 

5マスのとき、最後が○のものは、11+10=21通り でき、

△、×のものは、11×2=22通り です。

よって、5マスに記入する仕方は、21+22=43通り です。

 

 (3)6マスのとき、最後が○のものは、43通り でき、

△、×のものは、21×2=42通り です。

 

7マスのとき、最後が○のものは、43+42=85通り でき、

△、×のものは、43×2=86通り です。

 

8マスのとき、最後が○のものは、85+86=171通り でき、

△、×のものは、85×2=170通り です。

 

9マスのとき、最後が○のものは、171+170=341通り でき、

△、×のものは、171×2=342通り です。

 

10マスのとき、最後が○のものは、341+342=683通り でき、

△、×のものは、341×2=682通り です。

 

よって、10マスに記入する仕方は、

 683+682=1365通り です。

 

 

 栄東中学の他の問題は → こちら

  栄東中学の過去問題集は → こちら 

 

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コメント

(2)の解答で、

○△△○△、○△△○×、○△×○△、○△×○×

というようなパターンは無いのでしょうか?

投稿: きなこもち | 2011年12月30日 (金) 09時54分

>きなこもちさん
「となり合ったマスの少なくとも一方が○」という条件があるので○以外の記号(×△)が二つ続けて並ぶことはありません。○以外の記号(×△)の隣は必ず○になります。

投稿: 万打無 | 2012年1月 7日 (土) 01時06分

きなこもち様、万打無様のご説明通りで、
2マスのうち一方が○にならなければ
いけないので、「△△」「△×」「×△」
というパターンは考えないという前提ですね。

返答が遅くなりすみませんでした。
万打無様、ありがとうございました。

またご不明な点ございましたら
気兼ねなくコメントお願いします。

今年もよろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2012年1月 7日 (土) 11時09分

万打無さん、桜組さん、ご回答ありがとうございます。

「となり合ったマスの少なくとも一方が○」という条件を
「△(又は×)のとなりの少なくとも一方が○」と勘違いしていました。
文章の読込み(理解)が足りませんでした。

投稿: きなこもち | 2012年1月11日 (水) 21時57分

きなこもち様、ご不明な点がございましたら
お気軽にお尋ねください^^

投稿: 桜組 | 2012年1月12日 (木) 18時34分

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