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2011年12月 2日 (金)

数の性質 第65問 (麻布中学 2009年(平成21年度) 入試問題 算数)

 

問題 (麻布中学 2009年 入試問題 算数) 難易度★★★★

 

 ボールが48個あります。これらのボールを以下の条件1,2に

あてはまるように、5つの箱に入れることにします。

  【条件1】 どの箱にもボールを5個以上入れる

  【条件2】 どの2つの箱についても、入っているボールの数の

        公約数は、1だけです。

このとき、5つの箱に入っているボールの数の組をすべて

答えなさい。答えは、箱に入っている数が小さいものから順に

書きなさい。また、解答欄は8組ありますが、すべて使うとは

かぎりません。

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解答

 まず、ボールが48個あり、箱が5個あることから、

箱に入るボールに関して、偶数か奇数か考えると、

  偶数+奇数+奇数+奇数+奇数

となります。(奇数+奇数=偶数 、偶数は2箱以上あると、

公約数【2】が現れるので、偶数は1つ。すべて奇数では、

合計も奇数になるので不適切)

 

偶数①+奇数①+奇数②+奇数③+奇数④ について、

48という制限を考えずに、小さい順に考えると、

  5+6+7+11+13=42 となります。(9は、6と公約数【3】)

あと6足りないので、

 6+6=12、11+6=17、13+6=19 に代えると条件を

満たします。よって、

 (5,6,7,13,17)、(5,6,7,11,19

 (5,7,9,11,12,13) が考えられます。

 

ここまで、1つしかない偶数を【6】として考えてきましたが、

これを他の偶数にして考えて生きます。

 

【8】をにすると、

  5+7+8+9+11=40 が最小なので、

あと8足りません。

 5+8 → 13

 7+8 → 15 → 9と15は共に3の倍数なので、×

 8+8 → 16

 9+8 → 17

 11+8 → 19

以上より、

 (7,8,9,11,13)、(5,7,9,11,16

 (5,7,8,11,17)、(5,7,8,9,19

が考えられます。

 

次に【10】にすると、

  5+7+9+10+ → 5と10は公約数【5】となるので×

  7+9+10+11+13=50 となるので、48になりません。

 

次に【12】にすると、

  5+7+11+12+13=48

となり、すでに上で書かれたもので、これ以上増やせません。

 

次に【14】にすると、

  5+9+11+13+14=52 となり、48になりません。

次に【16】にすると、

  5+7+9+11+16=48

となり、すでに上に書かれたもので、これ以上増やせません。

 

ここまでの検証から、【16】より大きい数にすると、

48以上になってしまうことがわかったので、

5つの箱に入っているボールの数の組は、

 (5,6,7,13,17)、(5,6,7,11,19

 (5,7,9,11,12,13) 、

 (7,8,9,11,13)、(5,7,9,11,16

 (5,7,8,11,17)、(5,7,8,9,19

以上の7組です。 

 

 

 麻布中学の過去問題集は → こちら

 麻布中学の他の問題は → こちら

 

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