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2011年11月22日 (火)

点の移動 第29問 (糸を巻きとる) (慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年、暁星中学 2011年 入試問題 算数)

 

問題 (慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年、暁星中学 2011年

     入試問題 算数) 難易度★★★☆

 

【 1 】

 点O を中心とする半径6cmの円板を3分の1に切った板が

あります。この板を下の図A のように、OPが地面と平行になる

ように点Oで壁に固定して、長さ20cmのひもPQをぶら下げます。

  いま、点Oを中心として、毎秒20°の速さで反時計回りに

この板を回転させて、ひもをたるまないように巻き取っていきます。

円周率を3として、次の問に答えなさい。

    Pic_26021q

(1)ひもを巻き終わるまでにかかった時間を求めなさい。

(2)ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さを求めなさい。

               (慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年)

 

【 2 】

 下の図B のように、大きな扇形(半径3cm、中心角120°)の

板2枚と、小さな扇形(半径1cm、中心角60°)の板2枚をつけた

板X があります。点A に長さ 93cm の糸がついていて、先端に

おもりP がついています。水平な床に対して垂直な カベに、床に

おもりがつかないように、板X を点O を中心に回転するように

固定します。図B のように、AC が床に平行な状態から、点O を

中心として矢印の方向に板X を回転させ、意図をいたX に巻き

つけていきます。このとき、次の問に答えなさい。ただし、おもり

の大きさは考えず、円周率は3.14として計算しなさい。

   Pic_26022q

(1)板X が1回転する間におもりP の動いた長さを求めなさい。

(2)おもりP が板X に初めてつくまでに、板X は【 ア 】回転

   します。【 ア 】にあてはまる最大の整数を答えなさい。

                          (暁星中学 2011年)

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解答

 【 1 】 円周率が3と指定されていることに注意しましょう。

 (1)板の弧の長さは、6×2×3×120/360=12cm です。

板の半径をOPとOR とすると、板が反時計回りに回転すると、

ひもPQは、まず、下の図1のように240°回転してPO、ORの

部分に巻き取られ、

     Pic_2603a

残りがRQの部分の8cmになります。

 

弧PRの長さが12cmなので、弧の長さの2/3回転すれば

完全に巻き取ることができ、図1の状態から、120°の2/3の

80度回転すればよく、最初の状態から、240+80=320°

回転すれば巻き終わります。

 

毎秒20°回転するので、かかる時間は、320÷20=16秒

と求められます。

 

 (2)まず板が90度回転して、点Qは下の図2の状態になります。

  Pic_2604a

点Qが動いた長さ(赤い点線)は、6×2×3×90/360=9cmで、

次に点Qは、図2から下の図3の状態まで60度回転しても

動きません。

 Pic_2605a

図3の状態から、図1の状態まで、下の図4のように点Qが動き、

 Pic_2606a

この移動した長さも、同様に9cmです。

 

図4からは点Qは上へ8cm動くのみなので、

ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さは、

  9+9+8=26cm です。

 

 

【 2 】

 (1)板X とおもりPの動きについて考えると、まず、

下の図5のように、ひもがAB にぴったりつくまでは

中心角 30°の扇形の弧の動きをします。

Pic_26061a

次に、下の図6のように、BD が床と平行になるまで、

おもりP は中心角30°の扇形の弧の動きをします。

Pic_26062a

その後、下の図7のように、弧BC と同じ長さ分を巻き取られます。

Pic_26063a

ここまで半周すると、図5の状態に戻るので、図5~図7の移動を

もう1回くり返すと、板X が1回転したことになり、その間におもり

P が動いた長さは、

   {(3×2×3.14×30/360 )×2

   +3×2×3.14×120/360}×2

 =3×2×3.14×(60+120)/360 ×2

 =6×3.14=18.84cm と求められます。

 

 (2)板X が、1回転で巻き取る糸の長さは、

三角形OAB,OCD が正三角形なので、AB=CD=3cm より、

    (3+3×2×3.14×120/360)×2

   =9.28×2=18.56cm です。

 

糸の長さは 93cm なので、板X が糸を巻き取る回転数は、

  93÷18.56=5.01・・・

より、5回転と少し なので、板X は 5回転 は、することになります。

 

 

 慶應義塾湘南藤沢中等部の過去問題集は → こちら

 暁星中学の過去問題集は → こちら

 慶應義塾湘南藤沢中等部の他の問題は → こちら

 暁星中学の他の問題は → こちら

 

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