数の性質 第６４問 （９） （灘中学 2009年（平成21年度） 受験問題 算数）

問題　（灘中学　2009年　受験問題　算数）　難易度★★★

　９の倍数ではなく、かつ、各けたの数字に９を含まない

１以上の整数について、次の問に答えなさい。

（１）９９９以下のものは何個ありますか。

（２）小さい方から数えて９９９番目の数を答えなさい。

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解答

　（１）まず、９の倍数の見分け方は　→　こちら を参照。

各位の数の和が９の倍数かどうかですね。

９００台は全て「９」が含まれるので、実質８８８まで調べればよい

ことになります。

１～ ９９　・・・　９の倍数　１１個

　　　　　　　　　 ９のつく整数　９，１９，２９，・・・８９，９０～９９

　　　　　　　　　　　　　　　　　  → ９＋１０＝１９個

　　　　　　　　　 １９個のうち、９の倍数　→　９，９０，９９

１～９９ までには、１１＋１９－３＝２７個 あります。

１００～１９９ ・・・ ９の倍数　１１個

　　　　　　　　　　 ９のつく整数　１９個

　　　　　　　　　　 １９個のうち、９の倍数　→　１８９、１９８　

１００～１９９ までには、１１＋１９－２＝２８個 あります。

２００～２９９ ・・・ ９の倍数 ： １１個、９のつく整数 ： １９個

　　　　　　　　　　 １９個のうち、９の倍数　→　２７９、２９７

２００～２９９ までには、１１＋１９－２＝２８個 あります。

３００～３９９、４００～４９９、５００～５９９、６００～６９９、

７００～７９９、も同様に２８個ずつです。

８００～８９９ ・・・ ９の倍数 ： １２個、９のつく整数 ： ２０個

　　　　　　　　　　 ２０個のうち、９の倍数・・・８１９、８９１

８００～８９９までには、１２＋２０－３＝２９個 あります。

よって、９９９以下で、９の倍数ではなく各位に９を含まない整数は、

　８９９－（２７＋２８×８）＝９００－２８×９

　　　　　　　　　　　　　　　＝６４８個 あります。

　（２）（１）より、４ケタの整数として【ＡＢＸＸ】という整数を考えて、

ＡＢ＝９の倍数のとき 以外は、１００ずつ考えると、２８個ずつ

９の倍数と各位に９を含む整数があるので、次に注意するのは

【１８００】のところです。

９９９番目を考えると、９９９までに６４８個 あったので、あと

　　　９９９－６４８＝３５１ 個先を調べます。

１００個に、１００－２８＝７２個 ずつ ９の倍数でもなく

各位に９を含まない整数があるので、

　 ３５１÷７２＝４ あまり ６３ です。

ここで、７２×５＝３６０ より、

　 １４８８ から ９個前の数が求める数 となります。

３６０番目は、１４８８

３５９番目は、１４８７

３５８番目は、１４８６　→　９の倍数なので×　１４８５・・・○

３５７番目は、１４８４

３５６番目は、１４８３

３５５番目は、１４８２

３５４番目は、１４８１

３５３番目は、１４８０

３５２番目は、１４７８

３５１番目は、１４７７　・・・　こたえ

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