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2011年11月25日 (金)

グラフを読む 第16問 (浦和明の星女子中学 2007年(平成19年度) 入試問題 算数)

 

問題 (浦和明の星女子中学 2007年 入試問題 算数)

     難易度★★★

 

街灯にあかりがついています。身長が共に1.5mのA君とB君が

街灯の真下を出発点として、A君が秒速0.6mで、ある方向に

歩き出しました。その5秒後にB君が秒速1.2mで、同じ方向に

歩いていきました。下のグラフ1は、A君が歩き出してからの時間と

そのときの2人の影が重なった部分の長さの関係を表しています。

なお、2人の影が重なった部分の長さは、B君がA君に追いついた

ときに最も長くなります。

Pic_2625q

(1)街灯の高さは何mですか。

(2)グラフのアにあてはまる長さは何mですか。

(3)グラフのイにあてはまる時間は何秒ですか。

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解答

 (1)グラフより、8秒後にB君の影がA君の足元まで届く

ということがわかります。

 

A君が出発して8秒後には、A君は街灯から、0.6×8=4.8m

B君は街灯から、1.2×(8-5)=3.6m のところにいるので、

下の図1のように、2人は1.2mの差があることがわかります。

Pic_2626a_2

図1より、A君のいる位置P,B君のいる位置Q、街灯の位置R,

街灯の頂上S の関係から、

  PQ : PR = B君の身長 : 街灯の高さ

という比が、三角形の相似関係より成り立ちます。

 

よって、

 1.2 : 4.8 = 1.5 : □m

より、街灯の高さ □=6m と求められます。

 

 (2)アは、2人の影の長さが最も長くなるときで、これは

B君がA君に追いついたときです。

 

B君がA君に追いつくのは、1秒間に0.6mずつ2人の差は

縮まることから、8秒の時点で1.2mの差があるので、

さらに2秒後の10秒のときです。

 

このとき、2人は下の図2のように、街灯から、0.6×10= 6m

のM地点におり、

Pic_2627a

影の先端L と、2人の頭の位置N,街灯の関係から、

三角形LMN と三角形LRS が相似です。

 

よって、□ : □+6 = 1.5 : 6 = 1 : 4 より、

影の長さ □ = 6÷(4-1)=2m とわかります。

 

 (3)影の長さが最長になった1秒後を考えると、下の図3のように

Pic_2628a

A君は、街灯から6.6m地点、B君は街灯から7.2m地点です。

A君の影は、図3より、(2)と同様に求めると 2.2m です。

すなわち、2人は0.6mずつ離れていくので、このときの

影が重なった部分の長さは、2.2-0.6=1.6m です。

 

このことから、1秒で、2-1.6=0.4m ずつ、影が重なった

部分が短くなることがわかります。

 

よって、最長2mだった影が重なった部分の長さは、

 2÷0.4=5秒で 重ならなくなります。

 

ゆえに、イ=10+5=15秒 です。

 

 

 浦和明の星女子中学の過去問題集は → こちら

 浦和明の星女子中学の他の問題は → こちら

 

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