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2011年11月18日 (金)

立体図形の体積 第38問 (慶應義塾中等部 2007年(平成19年度) 入試問題 算数)

 

問題 (慶應義塾中等部 2007年 入試問題 算数) 

     難易度★★★

 

 下の図は、直方体から、底面が直角二等辺三角形の2種類の

三角柱を取り除いた容器です。これに36900c㎥ の水を入れた

ところ、水面は点G より4cm下の位置になりました。このとき、

次の問に答なさい。

  Pic_2607q_2

(1)辺CDの長さを求めなさい。

(2)辺DHを床につけたまま、辺B I 側を静かに持ち上げて、

   面DHJF が床につくようにすると、何c㎥ の水がこぼれますか。

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解答

 (1)36900c㎥ の水を入れると、水面の高さが点G より4cm

低くなり、下の図1の点K を水面が通ることがわかります。

(GK=4cm)

  Pic_2608a

元の直方体から取り除かれた、三角形ABC、三角形DEF を

底面とした三角柱の体積を、容器に足すと、合計体積は

直方体の体積 (BE × B I × EK)となります。

 

三角形ABC を底面とした三角柱の体積は、

  10×10÷2×30=1500c㎥

三角形DEF を底面とした三角柱の体積は、

  16×16÷2×30=3840c㎥

なので、水の体積と合計すると、

  1500+3840+36900=42240c㎥

となります。

 

EK = EF + FG -4 =16+20-4=32cm より、

BE = 42240÷(32×30)

   = 44cm です。

 

よって、CD = BE - (BC + DE)

        = 44 - (10+16)

        = 18cm です。

 

 (2)容器を真横から見て考えると、下の図2のようになります。

    Pic_2609a

辺DF が床と平行になり、点G からDF と平行な線を引くと、

辺AC上の点L と交わります。(GE=36cm、CE=34cmなので)

容器に残っている水の体積は、底面が五角形CDFGL 、高さが

30cm(BI)の五角柱 なので、この体積が分かれば、こぼれた

水の体積を求めることができます。

 

GLを延ばした線と辺BC の交点をM とすると、下の図3のように、

      Pic_2610a

三角形CLMは直角二等辺三角形になり、その面積は、

対角線が2cmの正方形の半分なので、

  2×2÷2÷2=1c㎡ です。

よって、五角形CDFGL の面積は、

  三角形MEG - (三角形DEF + 三角形CLM)

=36×36÷2-(16×16÷2 + 1) = 648-129

=519c㎡

と求められるので、容器に残った水の体積は、

 519×30=15570c㎥ です。

 

ゆえに、こぼれた水の体積は、

  36900-15570=21330c㎥ とわかります。 

 

 

 慶應義塾中等部の過去問題集は → こちら

 慶應義塾中等部の他の問題は → こちら

 

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