連続した数の掛け算 第１１問 （洛南高校附属中学 2006年（平成18年度） 受験算数問題）

問題 （洛南高校附属中学 2006年 受験算数問題）難易度★★★★

数字の２，３，５だけを使ってできる４けたの整数を小さいものから

並べた数の列　：　２２２２，２２２３，・・・，５５５５ について考えます。

　（１）全部で何個あるか答えなさい。

　（２）５０番目の数は何か答えなさい。

　（３）８の倍数は何個あるか答えなさい。

　（４）全部の数をかけると、１の位から０が何個連続して並ぶか

　　　 答えなさい。　

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解答

　（１）樹形図で考えればすぐ分かります。

千の位、百の位、十の位、一の位、それぞれ２，３，５の３種類

が考えられるので、全部で３×３×３×３＝８１個　となります。

　（２）千の位が２，３，５のものは、それぞれ８１÷３＝２７個ずつ

あるので、３５５５が５４番目です。

よって、５０番目は、　

３５５５→３５５３→３５５２→３５３５→３５３３　より、３５３３　です。

　（３）８の倍数になるには、４の倍数でなければならないので、

４の倍数の整数の判別は、下２けたが４の倍数ならば、その整数は

４の倍数となります。　さらに、８の倍数は下３けたが８の倍数なら

その整数は８の倍数となります。なぜかというと　→　こちら

下２けたが４の倍数になるには、３２，５２です。

百の位が２，３，５のときについて調べると、

２３２，３３２，５３２，２５２，３５２，５５２のうち、８の倍数は

２３２，３５２，５５２　の３つです。

千の位は２，３，５の３通りあるので、全部で３×３＝９個　

となります。

　（４）２×５＝１０なので、０が並ぶ数は２で割れる回数

（要は２の倍数の個数）と５で割れる回数（要は５の倍数の個数）の

どちらが多いかによって決まります。

５の倍数は１の位が５のもので、○○○５の形のものは、

○には２，３，５の３通りが入るので、３×３×３＝２７個

さらに２５の倍数は、下２けたが００，２５，５０，７５になるので、

この問題では、○○２５　が考えられます。

○には、やはり２，３，５の３通りが入るので、３×３＝９個

そして５×５×５＝１２５の倍数で２，３，５で作られるものは

２２５，３２５，５２５がどれも１２５の倍数ではないので、ありません。

５×５×５×５＝６２５の倍数も、１２５の倍数がないので、

ありません。

よって、５で割れる回数は２７＋９＝３６個となります。

次に２の倍数は、○○○２が考えられ、３×３×３＝２７個あります。

次に４の倍数を考えますが、その前に（３）で８の倍数を数えたので

８の倍数が９個あるので、８＝２×２×２　より、２で１回割った後、

さらに２回割れるので、９個×２＝１８回、２で割れることになり、

この時点で２７＋１８＝４５で、５で割れる回数を上回りました。

よって、５で割れる回数の方が少ないので、

０が連続して並ぶ個数は、５で割れる回数と等しく、３６個　です。

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