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2011年11月14日 (月)

点の移動 第28問 (筑波大学附属駒場中学 2004年(平成16年度) 入試問題 算数)

 

問題 (筑波大学附属駒場中学 2004年 入試問題 算数)

     難易度★★★

 

下の図1のように、辺AD の長さが10cm、辺CD の長さが

5cmの長方形ABCD があります。点Oは長方形の内側にあり、

Oから辺AB,BC に垂直な線を引き、交わった点をそれぞれ

E,F とすると、BE の長さは2cm、BF の長さは4cmです。

 Pic_2420q

点PはAを、点QはE を同時に出発し、長方形ABCD の周上を

反時計回りに毎秒1cmの速さで進み、Pが頂点D に着くまで

動きます。このとき、線OP,OQ と長方形ABCD の周で囲まれた

図形のうち、面積の小さい方について考えます。このとき、次の

問に答えなさい。

 

(1)P,Qが出発して4秒後の図形の面積を求めなさい。

(2)P,Qが出発してからの時間と図形の面積の関係を下の

   図2のグラフに表しなさい。

Pic_2421q

(3)図形の面積が5c㎡ になるのは、P,Qが出発してから

   何秒後ですか。考えられるものをすべて答えなさい。

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解答

 (1)4秒間にP,Qは4cm進むので、求める面積は下の図3の

色のついた部分になります。

   Pic_2422a_3

EP=PB=1cm、BQ=QF=2cm なので、

三角形OPQの面積は 長方形BEOFから、三角形OPE,OQFを

除いて、2×4-(1×4÷2+2×2÷2)=4c㎡ です。

 

 (2)面積と時間の関係について考えます。

 

まず、Qが頂点Bに着く(2秒後)までは、求める面積は

三角形OPQで、

     PQ=3cm、高さ=OE=4cm より、6c㎡ です。

 

次に、(1)で求めた図3の4秒後の4c㎡ を経由して、Pが頂点Bに

着く5秒後から、Qが頂点Cに着く12秒後まで、三角形OPQは、

PQ=3cm、高さ=OF=2cm より、3×2÷2=3c㎡ です。

 

そのときから、Pが頂点Cに着くまで(15秒後)、どのように面積が

変化するかというと、13秒後に四角形OPCQが下の図4の状態

になるので、

  Pic_2423a

求める四角形OPCQの面積は、

  2×6-(4×2÷2+1×6÷2)=5c㎡ です。

 

Pが頂点Cに着いてから、Qが頂点Dに着くまで(17秒後)は、

求める面積は三角形OPQの面積と等しく、

PQ=3cm、高さ=FC=6cm なので、3×6÷2=9c㎡ です。

 

最後にPが頂点Dに着くとき(20秒後)には、

求める面積は、底辺PQ、高さ=AE=3cmの三角形OPQで、

     3×3÷2=4.5c㎡ になります。

 

このことをグラフにすると、下の図5のようになります。

Pic_2424a

 (3) (2)のグラフで、面積が5c㎡ の線を下の図6のように引くと

Pic_2425a

図形の面積が5c㎡ になるのは3回あることがわかります。

1回目は3秒後、2回目は13秒後 です。

 

3回目は、17秒後から20秒後の間で、グラフから、

3秒で面積が 9c㎡ → 4.5c㎡ に4.5c㎡ 減っていて、

5c㎡ になるのは、9c㎡ から 4c㎡ 減ったときで、

1c㎡ 減るのに 3秒÷4.5c㎡ = 2/3秒 かかっているので、

4c㎡ 減るのに2/3 × 4 =8/3 =2 と 2/3 秒かかり、

3回目に面積が5c㎡ になるのは、

       17+2と2/3=19と2/3秒後 です。

 

 

 筑波大学附属駒場中学の過去問題集は → こちら

 筑波大学附属駒場中学の他の問題は → こちら

 

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