数の性質 第６３問 （立教新座中学 2011年（平成23年度） 受験問題 算数）

問題　（立教新座中学　2011年　受験問題　算数）　難易度★★★

　５をいくつか並べた整数をＡ とします。そのＡに５をかけた整数の

各位の数の和をＢ とするとき、次の問に答えなさい。

（１） Ａ＝５５・・・５ （５が３５個並んだ整数） のとき、Ｂを求めなさい。

（２） Ｂ＝６８６ のとき、Ａは５が何個並んだ整数ですか。

（３） Ｂの各位の数の和を求めると ９ になりました。このようなＢ

　　  のうち、３番目に小さい数を求めなさい。

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解答

　（１） Ａ ＝５５・・・５ （５が３５個） に ５ をかけると、

２７７・・・７７５ となり、７ が３４個 並びます。

よって、各位の和 Ｂ は、

　２＋７×３４＋５＝ ２４５ となります。 　

　（２） Ａ × ５ ＝ ２７・・・７５ となり、７が□個あるとすると

Ａに並んだ５の個数は、□＋１個 で、

　　 Ｂ＝２＋７×□＋５＝７×（□＋１）＝７×Ａの桁数

となります。

よって、Ｂ＝６８６ のとき、Ａ に並んだ５の個数は、

　　　６８６÷７＝９８個 です。

　（３）（２）より、７の倍数で、各位の和が９ になる整数のうち、

３番目に小さい数を求めればよいことになります。

　７，１４，２１，２８，３５，・・・ と地道に調べていってもよいです。

ここでは、簡単な方法を紹介します。

各位の和が ９ ということは、その数は ９の倍数 です。　

　（　参照　→　こちら　）

このことを知らない場合、最低でも ３の倍数 ということに

気付きましょう。

よって、７の倍数 かつ ９の倍数 （知らなかったら ３の倍数）

を順に挙げていきます。

すると、６３（６＋３＝９）、６３×２＝１２６（１＋２＋６＝９）

６３×３＝１８９（和は９にならない）、６３×４＝２５２（和は９）

となるので、３番目に小さい数は、２５２ と求められます。

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