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2011年10月12日 (水)

立体図形の体積 第36問 (青山学院中等部 2011年(平成23年度) 受験問題 算数)

 

問題 (青山学院中等部 2011年 受験問題 算数) 

     難易度★★★

 

 深さ 50cm の直方体の水そうに水が入っています。

この水そうに、縦20cm、横15cm、高さ8cmの直方体の

ブロックをしずめます。ブロックの一番大きい面を底にして

しずめたときと、一番小さい面を底にしてしずめたときの

水面の高さの比は、8:5 です。ただし、どちらの場合も

ブロックの一部は水面から出ていました。このとき、次の

問に答えなさい。

 

(1)水そうの底面積を求めなさい。

(2)水そうの水を一度全部捨てて、ブロックの一番大きい

   面を底にして置いてから、水面の高さが15cmになる

   ように水を入れました。その後、ブロックの向きを、

   一番小さい面が底になるように変えると、水面の高さは

   何 cm 低くなりますか。

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解答

 (1)ブロックの一番大きい面は、20cm × 15cm の面で、

300c㎡。

一方、ブロックの一番小さい面は、15cm × 8cm の面で、

120c㎡ です。

 

水そうにしずめたブロックの絵を描くと、下の図1のようになります。

Pic_2551a

それぞれの場合をA,B とすると、共に入っている水の体積は

同じなので、水そうの底面積のうち、ブロックと接していない

部分の底面積をそれぞれ、【 A 】c㎡、【 B 】c㎡ とすると、

   【 A 】 × ⑧ = 【 B 】 × ⑤

となります。

 

これは、【 A 】 : 【 B 】 = <5> : <8> ということを

表しており、

     【 A 】 + 300 = 【 B 】 + 120 

より、【 A 】と【 B 】の差は180c㎡ なので、

     <3> = 180c㎡ とわかります。

 

よって、【 A 】=<5>=300c㎡、【 B 】=<8>=480c㎡

より、水そうの底面積は、300+300=600c㎡ です。 

 

 (2)問題文の様子を図で表すと、下の図2のようになります。

Pic_2552a

それぞれの場合をC,D とすると、C の図から、水の体積が

  600×15-300×8=6600c㎥ とわかります。

すると、D の図の水の高さは、

  6600÷(600-120)=13.75cm とわかります。

 

よって、水面の高さは、

  15-13.75=1.25cm 低くなります。

 

 

 青山学院中等部の過去問題集は → こちら

 青山学院中等部の他の問題は → こちら

 

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