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2011年10月 6日 (木)

文章題 第43問 仕事算 (開智中学 2011年 算数入試問題)

 

問題 (開智中学 2011年 算数入試問題) 難易度★★★★

 A君とB君の2人ですると4時間48分かかり、B君とC君の2人で

すると8時間かかり、C君とA君の2人ですると、B君が1人でする

のと、ちょうど同じ時間かかる仕事があります。

 

(1)A君とB君とC君の3人でこの仕事を仕上げるには、何時間

   何分かかりますか。

(2)A君とB君とC君の3人でこの仕事を始めました。とちゅう、

   2人以上が同時に休まないように注意して、休み時間を

   とりました。休み時間は、A君はB君より12分長くとり、B君は

   C君より4分長くとりました。このため、A君とB君とC君の

   3人でこの仕事を始めてから仕上げるまで、休み時間を

   取らなかったときより30分長く時間がかかりました。3人が

   同時に働いていたのは何時間何分ですか。

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解答

 (1)4時間48分=4.8時間 です。全体の仕事の量を1とすると

A君とB君の2人ですると、1時間あたり 4.8分の1 の仕事をし、

B君とC君の2人ですると、1時間あたり8分の1 の仕事をすると

いうことがわかります。このことから、

  A君とB君、さらにB君とC君で仕事をすると、1時間あたり

1/4.8 + 1/8 = 1/3 の仕事ができることになります。

 

ここで、問題文より、A君とC君がする仕事の量はB君1人と同じ

なので、B君3人分で、1時間あたり1/3 の仕事になるので、

B君1人では、1時間あたり1/9 の仕事をするとわかります。

 

B君とC君の2人で、1時間あたり1/8 なので、C君1人では、

1時間あたり

   1/8 - 1/9 = 1/72 です。

 

A君とC君の2人で、1時間あたりB君と同じで1/9 なので、

A君1人では、1時間あたり

   1/9 - 1/72 = 7/72 です。

 

よって、3人でこの仕事をすると、

  1 ÷ ( 1/9 + 1/72 + 7/72 ) = 4.5時間

すなわち、4時間30分かかることになります。

 

 (2)問題文より、B君はA君より12分長く働き、C君はA君より

16分長く働いたことがわかります。

 

1分間に

 B君は、1/9 ÷ 60 = 1/540

 C君は、1/72 ÷ 60 = 1/4320 の仕事をするので、

3人が働いた様子を図に描くと、下の図のようになります。 

Pic_2546a_2

整理された上の図から、3人同時に仕事をしたとみなせる量は、

   1 - ( 1/540 × 12 + 1/4320 × 16 )

= 263/270

となり、3人で1時間に2/9の仕事をするので、 

A君が働いた時間は、

 263/270 ÷ 2/9 = 263/60 = 4時間23分 です。

 

仕事を仕上げるのに、4時間30分+30分=5時間

かかっているので、A君の休み時間は、

  5時間-4時間23分=37分 です。

B君の休み時間は、37分-12分=25分

C君の休み時間は、25分-4分=21分 です。 

 

よって、3人が同時に働いていたのは、

 5時間 - ( 37分+25分+21分 ) = 3時間37分 です。

 

 

 開智中学の他の問題は → こちら

 開智中学(埼玉)の過去問題集は → こちら

 

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