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2011年10月25日 (火)

対角線によって切断される正方形の数 第2問 (愛知淑徳中学 2010年(平成22年度) 受験算数問題)

 

問題 (愛知淑徳中学 2010年 受験算数問題) 難易度★★★★

 

たくさんの正方形のタイルを縦、横に並べて大きな長方形を

作ります。次に、この長方形の縦、横の辺と対角線で大きな

直角三角形を1つ作ります。最後に、この大きな直角三角形

に含まれるタイルの個数を数えます。

  たとえば、下の図のように、縦4個、横6個のタイルを

並べると、大きな直角三角形とは太線の三角形で、含まれる

タイルの個数は、8個です。

     Pic_2558q

 では、タイルを縦に21個、横に51個並べて長方形を作った

とき、直角三角形に含まれるタイルの個数を求めなさい。

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解答

 縦4個、横6個のタイルを並べた図は、下の図1のように、

2つの黄色い三角形と、青い長方形の3つの部分に分けられます。

   Pic_2559a

直角三角形に含まれるタイルは、青い長方形の部分の枚数と、

黄色い三角形に含まれる枚数の合計となります。

 

ここで、黄色い三角形の縦と横の個数の比、2:3は、

並べたタイルの個数の比 4:6 です。

 

このことから、縦21個、横51個のタイルを並べたときは、

   21:51=7:17 なので、

下の図2のように考えればよいことがわかります。

Pic_2560a_2

青い長方形の部分に含まれるタイルの個数は、

   17×7×3=357個 です。

 

残る黄色い直角三角形の中に何個あるかが問題です。

この直角三角形は、縦と横の比が 7 : 17 なので、

下の図3のように、7段に分けて考えます。

Pic_2561a

すなわち、1段目~7段目に何個のタイルがあるか調べます。

 

タイルを縦1cm、横1cmとして考え、直角三角形の縦と横が

7cm、17cmということから、対角線とそれぞれの段の交点

6ヶ所について、左はしから何cmなのか調べると、下の図4

のようになります。

Pic_2562a

1段目にはタイルはありません。(すべて対角線と交わっている)

2段目は対角線との交点が17/7cm=2.4・・cm地点なので

    2個のタイルがあることがわかります。

3段目は対角線との交点が34/7cm=4.8・・cm地点なので

    4個のタイルがあることがわかります。

4段目は対角線との交点が51/7cm=7.2・・cm地点なので

    7個のタイルがあることがわかります。

5段目は対角線との交点が68/7cm=9.7・・cm地点なので

    9個のタイルがあることがわかります。

6段目は対角線との交点が85/7cm=12.1・・cm地点なので

    12個のタイルがあることがわかります。

7段目は対角線との交点が102/7cm=14.5・・cm地点なので

    14個のタイルがあることがわかります。

 

よって、図2の黄色い直角三角形1つには、

       2+4+7+9+12+14=48個 のタイルがある

ということが求められます。

 

ゆえに、タイルを縦21個、横51個ならべたとき、直角三角形に

含まれるタイルの数は、

  357+48×3=501個 です。

 

 

<別解>

  対角線で切られない正方形ではなく、対角線で切られる正方形

の数について考えると、下の図5を参考に考えると、

       Pic_25622a

  縦の辺の正方形の個数 + 横の辺の正方形の個数 - 1

として数えることができます。

 

縦7個、横17個の正方形を並べて作った長方形の

対角線によって切られる正方形の個数は、

 7+17-1=23個 です。

縦21個、横51個の正方形を並べて作った長方形の

対角線によって切られる正方形の個数は、この3倍で

  23×3=69個 です。

(21+51-1=71個 ではないので注意)

 

よって、直角三角形に含まれるタイルの個数は、

 (21×51-69)÷2=501個 となります。

 

 

 愛知淑徳中学の過去問題集は → こちら

 愛知淑徳中学の他の問題は → こちら

 

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コメント

別解を提示します。
正方形を縦7個、横17個の長方形に並べて対角線を引くと、7+17-1=23個の正方形を通過します。ゆえに縦21個、横51個の長方形に並べて対角線を引くと23×3=69個の正方形を通過します。長方形に含まれる正方形の個数は21×51=1071個。そこから対角線が通過する正方形の数を引くと、1071-69=1002個。長方形に対角線を引いて2つの直角三角形に分けると、両方とも同じ形なので一つの直角三角形に含まれる正方形の数は1002÷2=501個になります。

投稿: 万打無 | 2011年10月26日 (水) 01時43分

万打無さま、コメントありがとうございます。

より簡単な解法の提示ありがとうございます。
気付きませんでした。別解として掲載させていただきます。

またお気づきの点がございましたら、コメント
よろしくお願い致します。

投稿: 桜組 | 2011年12月 1日 (木) 16時55分

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