積み木の問題 第２２問 （吉祥女子中学 2009年（平成21年度） 入試問題 算数）

問題　（吉祥女子中学　2009年　入試問題　算数）　難易度★★★

１８個の同じ大きさの立方体を使って、下の図１のような

立体Ａ を作りました。この立体に対して、以下の規則を守りながら、

立方体を１個ずつ取り除く作業を何回か続けて行います。

■■■　規則　■■■

　 ・　上段の立方体のみ取り除くことができる

　 ・　常に表面積が変わらないように取り除く

　 ・　２個以上の立方体を同時に取り除くことはできない

　　　　　　　　　

たとえば、下の図２において、①の立方体を取り除いても表面積が

変わらないので、①は取り除くことができます。１回目の作業で

①の立方体を取り除くと、立体は図３のようになります。次に、図３

において、②の立方体は取り除くことができます。２回目の作業で

これを取り除くと、立体は図４のようになります。また、図４の立体の

上段に立方体が７個残っている様子を、図５のように表すことに

します。このとき、次の問に答えなさい。

（１）下の図６は、立体Ａの上段から立方体を１個ずつ取り除く

　　 作業を４回行った後の状態を表しています。この後、さらに

　　 ２回の作業を行うことができます。取り除くことができるのは

　　 どの２個の立方体か、下の図７に「×」印で表しなさい。

　

（２）下の図８は、立体Ａ の上段から立方体を１個ずつ取り除く

　　 作業を４回行った後の状態を表しています。この後、さらに

　　 ２回の作業を行うことができます。取り除くことができるのは

　　 どの２個の立方体か、下の図９に「×」印で表しなさい。

　

今度は、３２個の同じ大きさの立方体を使って、図１０のような

立体Ｂ を作りました。この立体から、同じ規則を守りながら、

立方体を１個ずつ取り除く作業を何回か続けて行います。

　　　　　　

（３）下の図１１は、立体Ｂ の上段から立方体を１個ずつ取り除く

　　 作業を８回行った後の状態を表しています。この後、さらに

　　 ４回の作業を行うことができます。取り除くことができるのは

　　 どの４個の立方体か、下の図１２に「×」印で表しなさい。

　　　　　　

（４）下の図１３は、立体Ｂ の上段から立方体を１個ずつ取り除く

　　 作業を８回行った後の状態を表しています。この後、さらに

　　 ４回の作業を行うことができます。取り除くことができるのは

　　 どの４個の立方体か、下の図１４に「×」印で表しなさい。

　　　　　　

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解答

　（１）図６から取り除ける２個の立方体は、下の図１６の黄色い

立方体で、図１５のようになります。

よって、答えは図１６のようになります。

　（２）図８から、下の図１８の黄色い立方体２個を取り除いて、

図１７のような立体となっても、表面積は変わりません。

よって、答えは図１８のようになります。

　（３）図１１の立体は、まず下の図１９の黄色い立方体を

取り除いても表面積が変わらないので、図１１から図２０の

立体になります。

　　　　　　

次に、図２０の立体は、（２）を参考にすると、下の図２１の２個の

黄色い立方体を取り除いても表面積は変わらず、図２２の立体

になります。

　　　　　　

最後に、図２２の立体は、図２３の黄色い立方体を取り除いても

表面積は変わらず、図２４の立体になります。

　　　　　　

よって、答えは図２３のようになります。

　（４）まず、図１３の立体は、下の図２５の２個の黄色い立方体を

取り除いても表面積は変わらないので、図２６の立体になります。

　　　　　　

次に、図２６の立体は、下の図２７の２個の黄色い立方体を

取り除いても表面積は変わらないので、図２８の立体になります。

　　　　　　

よって、答えは図２７のようになります。

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