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2011年10月28日 (金)

図形の移動 第40問 (鎌倉学園中学 2007年(平成19年度) 受験問題 算数)

 

問題 (鎌倉学園中学 2007年 受験問題 算数) 

     難易度★★★☆

 

 下の図のように、AB=12cm、BC=9cm、AC=15cm の

直角三角形ABC があります。辺AC,AB,BC 上に点D,E,F を

とると、四角形DEBF は正方形になりました。このとき、次の問に

答えなさい。

  Pic_2524q

(1)正方形の1辺の長さを求めなさい。

(2)三角形CDF を太線で囲まれた四角形ABFD の周上を

   矢印の向きにすべることなく3回、回転させたとき、点C が

   通った曲線の長さを求めなさい。

(3)(2)と同様に三角形CDF を回転させて、辺DF に重ねる

   ためには、最低何回、回転させなければならないですか。

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解答

 (1)三角形ABC の面積は、9×12÷2=54c㎡ ですが、下の

図1のように、辺AB,BC を底辺とする2つの三角形ABD,BCD

に分けると、

  Pic_2525a

DE,DF がそれぞれの高さとなり、面積は、

  12×DE÷2 + 9×DF÷2 =54 となります。

ここで、DE=DF なので、正方形の1辺の長さを□cm とすると

 (12+9)×□÷2=54 より、□=108÷21=36/7 cm

と求められます。

 

 (2)三角形CDF の各辺の長さを求めると、下の図2のように

(1)より、DF=36/7cm、CF=9-36/7=27/7cm、

三角形CDF と三角形ABC は相似で、3辺の長さの比は

       9:12:15=3:4:5 なので、CD=45/7cm

          Pic_2526a

となります。

 

三角形CDF を台形ABFD の周りに3回、回転させると、

まず、1回目と2回目の回転で、下の図3の位置になります。

Pic_2527a

点C は、点C1のところへ、太線矢印の長さ移動します。

BF=36/7、CF=27/7 なので、点C1は辺BF上です。

この長さは、半径27/7cmの半円の弧の長さで、

  27/7 ×2×3.14×180/360=27/7 × 3.14cm です。

 

次に、3回目の回転をすると、下の図4のように、点C1から

点C2 へ 90度回転して移動します。

Pic_2528a_2

BC1の長さ=36/7-27/7=9/7cm なので、

点C の通った太線矢印の長さは、

  9/7 ×2×3.14×90/360=9/14×3.14cm です。

 

よって、点C が通った曲線の長さは、

 27/7 ×3.14 + 9/14 ×3.14

=( 27/7 + 9/14 ) × 3.14

=9/2 × 3.14 = 9 × 1.57

14.13cm です。

 

 (3)AE =12-36/7=48/7cm

    AD =15-45/7=60/7cm です。

 

3回転目で図4の位置まで移動します。

図4の位置で、点E と移動してきた点D が重なります。

 

4回転目では、AE=48/7cm、DF=36/7cm なので、

下の図5の位置に移動します。

Pic_2529a  

 

ここまでの回転の様子から、台形ABFD の周囲の長さの合計

(ただし、辺DF は除く)よりも、三角形CDF の辺の長さを順々に

足していったものが大きくなった次のときに、三角形CDF が

辺DF に重なることがわかります。

 

台形ABFD の辺DF 以外の3辺の長さの合計は、

   AD + AB + BF =60/7 +12+36/7

               =180/7 cm です。

三角形CDF の3辺の長さを順々にたしていくと、

   27/7 (1回転)+ 45/7 (2,3回転)+ 36/7 (4回転)

 +27/7 (5,6回転)+ 45/7(7回転) =180/7cm なので、

7回転でちょうど点D は元の位置にもどってきます。

よって、辺DF に重なるには、8回転させなければなりません。

 

 

 鎌倉学園中学の過去問題集は → こちら

 鎌倉学園中学の他の問題は →  こちら

 

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