規則的な図形の移動 第３問 （筑波大学附属駒場中学 2006年（平成18年度） 入試問題 算数）

問題　（筑波大学附属駒場中学　2006年　入試問題　算数）

　　　　 難易度★★★★★

下の図１のような、４つの面が同じ大きさの正三角形で

できているコマと、下の図２のような、コマの面と同じ大きさの

正三角形がたくさん描いてある板があります。コマの１つの

面には☆印がついていて、はじめに、この☆の面が図２の

★のついた三角形とぴったり重なるように置いてあります。

　　　　　　　

板についている面の１つの辺を動かさないようにコマをたおし、

別の面を下にする操作を何回か行って、コマを動かすことを

考えます。たとえば、１回目の操作で、コマは図２の○印の

３つの三角形のどれかに移動します。また、たとえば３回目の

操作で図２の●印の三角形、４回目の操作で図２の■印の

三角形、５回目の操作で図２の▲印の三角形にコマは移動

できて、いずれも☆の面が●、■、▲の三角形に重なります。

コマが移動できる板上の三角形の個数について、次の問に

答えなさい。ただし、はじめにコマを置いた★印の三角形は

個数に含めません。

（１）２回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は

　　 何個ありますか。また、そのうち☆の面が重なるものは

　　 何個ありますか。３回目、４回目の操作についても、同じ

　　 ものを求めなさい。

（２）８回以下の操作でコマが移動できる三角形は全部で何個

　　 ありますか。また、そのうち☆の面が重なるものは全部で

　　 何個ありますか。

（３）１００回以下の操作でコマが移動できる三角形のうち、☆の

　　 面が重なるものは全部で何個ありますか。

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解答

　（１）２回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、

図２の○印から１つとなりの三角形で、下の図３の青い三角形

です。

よって、６個です。

次に、☆の面が重なる面について考えます。コマの４つの面を

赤、青、黄色、白の４色で表し、☆の面を青色の面として考え

最初の位置から転がすと、下の図４のように太線の三角形の

位置で☆の面が重なります。

　　　

よって、２回目の操作では、☆の面と重なるものは、０個です。

３回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、

図３の青い三角形から１つとなりの三角形で、下の図５の

緑の三角形で、９個あり、そのうち☆の面が重なるものは

３個です。

４回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、

図５の緑の三角形から１つとなりの三角形で、下の図６の

黄色の三角形で、１２個あり、そのうち☆の面が重なるものは

図４の図と重ねて考えると、６個とわかります。

　（２） （１）の操作を同様に続けていくと、

５回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、

図６の黄色の三角形から１つとなりの三角形で、下の図７の

赤色の三角形で、１５個あり、そのうち☆の面が重なるものは

図４の図と重ねて考えると、３個とわかります。

６回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、

図７の赤の三角形から１つとなりの三角形で、下の図８の

青色の三角形で、１８個あり、そのうち☆の面が重なるものは

図４の図と重ねて考えると、０個とわかります。

７回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、

図８の青の三角形から１つとなりの三角形で、下の図９の

黄色の三角形で、２１個あり、そのうち☆の面が重なるものは

図４の図と重ねて考えると、６個とわかります。

８回目の操作で、はじめてコマがたどりつける三角形は、

図９の黄色の三角形から１つとなりの三角形で、下の図１０の

紫色の三角形で、２４個あり、そのうち☆の面が重なるものは

図４の図と重ねて考えると、１２個とわかります。

ここまで８回の操作で移動できる三角形の個数を合計すると、

　　　　　３＋６＋９＋１２＋１５＋１８＋２１＋２４

　　　＝（３＋２４）×８÷２＝１０８個 です。

そのうち、☆の面と重なるものは、

　　　　　０＋３＋６＋３＋０＋６＋１２＝３０個 です。

いきなり図１０を描いて、★を六角形状に並べて数えてもよいと

思います。

　（３）１００回まで地道に調べるわけにはいかないので、

何か規則性がないか探してみます。

☆の面と重なる三角形の数は、８回目までの操作まで、

　　　０＋３＋６＋３＋０＋６＋１２ という増え方をしています。

ここから推測すると、９回目は６、１０回目は０、１１回目は９、・・・

と考えられます。確認すると、下の図１１のようになり、

９回目は★が６個、１０回目は灰色の三角形のところで、０個、

１１回目は★で右下、左下、上の３か所に３個ずつで９個 と

なっていることがわかります。

よって、次のような規則があることが確認できました。

　　 【１】２～５回目　・・・　０，３，６，３　・・・　１２

　　 【２】６～９回目　・・・　０，６，１２，６　・・・　２４（１２×２）

　　 【３】１０～１３回目　・・・　０，９，１８，９　・・・　１２×３

　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　 【２４】９４～９７回目　・・・　０，７２，１４４，７２　・・・　１２×２４

　　 【２５】９８～１００回　・・・　０，７５，１５０　・・・　２２５

よって、これらを合計すると、

　 １２×１＋１２×２＋１２×３＋・・・＋１２×２４＋２２５

＝１２×（１＋２＋３＋・・・＋２４）＋２２５

＝１２×（１＋２４）×２４÷２＋２２５

＝１２×２５×１２＋２５×９＝２５×（１４４＋９）＝２５×１５３

＝３８２５個 となります。

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