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2011年9月16日 (金)

積み木の問題 第21問 (金蘭千里中学 2011年(平成23年度) 中学受験算数問題)

   

問題 (金蘭千里中学 2011年 中学受験算数問題) 

     難易度★★★★

 

 1辺の長さが2cmの立方体がいくつかあります。この立方体の

面と面をくっつけていき、新しい立体を作ります。たとえば、3個の

立方体を使う場合は、下の図の2種類の立体を作ることが

できます。回転させると同じ立体になるものは1つの立体として

考えるものとして、次の問に答えなさい。

    Pic_2479q

(1)2個の立方体を使ってできる立体の表面積を答えなさい。

(2)4個の立方体を使ってできる立体は何種類ありますか。また、

   それらのうち、表面積が最も小さいものは何c㎡ ですか。

(3)7個の立方体を使ってできる立体のうち、表面積が最も

   小さいものは何c㎡ ですか。

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解答

 (1)1辺2cmの立方体を2個使ってできる立体は、

    下の図1の立体のみです。

         Pic_2480a_2

この立体の表面積は、 面積が 2×2 の面が2面、

                   4×2 の面が4面 なので、

      2×2×2+4×2×4= 40c㎡ です。

 

 (2)みなさんはテトリスというゲームをご存知でしょうか?

テトリスというのは、立方体4個から作られるブロックを

積んでいくというゲームです。

 

それを参考に、4個の立方体を使ってできる平面的な立体は、

下の図2の①~⑤の5種類になります。(⑤と⑥は同じ)

Pic_2481a

図2は平面的な立体でしたが、立体的な立体(?)も作れます。

それが、下の図3に示した3種類です。

    Pic_2482a

気をつけたいのは、⑦と⑧は同じではないことです。

回転させても重なりません。

 

よって、4個の立方体を使ってできる立体は、

     3+5=8種類 です。

 

と、普通は考えることでしょう。答えも正しいです。

少し上級者の考え方をすると、以下のようになります。

 

立方体を4個使うということは、立方体3個を使ってできる

立体に、さらに1個立方体を加える、と考えることができます。

 

3個の立方体を使ってできる立体は、問題文にあるように

2種類です。この2種類に立方体を1個加えると、下の図4

のように、それぞれ3種類と5種類作ることができます。

 Pic_2483a

よって、作ることができる立体は、3+5=8種類 です。

 

 

次に、この8種類のうち、表面積が最も小さいものを探します。

表面積は、接着面が多いほど小さくなっていきます。

 

①、②、③は同じ表面積です(接着面が3か所)

④は接着面が4か所 なので、より表面積が小さいです。

⑤、⑥、⑦、⑧、⑨も接着面が3か所です。

 

よって、表面積が最も小さいのは、④の立体で、その表面積は、

4cm×4cm の面が2面、2cm×4cm の面が4面あり、

     4×4×2+2×4×4=64c㎡ です。

 

 

 (3)7個の立方体を使ってできる、表面積の小さい立体として

思いつくものは、どんなものがあるでしょうか。

 

下の図5のような立体を思いつくかもしれません。しかし、これは

中央の立方体は6面すべて接着していますが、周りの6個は、

色のついた1つの面でしか接着していません。

 

そこで、1つの面でしか接着していない立方体を、図6のように

移動させると、2つの面で接着するので、接着面を1面増やす

ことができます。

  Pic_2484a

これ以上、表面積を小さくすることはできるでしょうか?

さらに表面積を小さくすることを考えると(考えることが重要)

下の図7のように、2面→3面に接着面を増やすことができます。

   Pic_2485a

図7の立体が、最もコンパクトな形で、これ以上接着面を増やす

ことはできず、その表面積は、1辺4cmの立方体の表面積に

等しく、4×4×6面=96c㎡ です。

 

 

 金蘭千里中学の他の問題は → こちら

 金蘭千里中学の過去問題集は → こちら

 

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