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2011年9月 2日 (金)

点の移動 第25問 (甲陽学院中学 2010年(平成22年度) 受験問題 算数)

 

問題 (甲陽学院中学 2010年 受験問題 算数) 

     難易度★★★★

 

1辺の長さが30cmの正方形ABCD の頂点Aを出発して、

辺AB上を一定の速さで往復し続ける点Pと、Pと同時にAを

出発して、辺AD上を一定の速さで往復し続ける点Qがあります。

点Pから辺ABに垂直に引いた直線と、点Qから辺ADに垂直に

引いた直線の交点を点Rとします。点Pの速さが秒速6cmの

とき、次の面積を求めなさい。

 

(1)点Qの速さが秒速15cmのとき、点Rが動いた線によって

   囲まれる図形の面積

(2)点Qの速さが秒速20cmのとき、点Rが動いた線によって

   囲まれる図形の面積

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解答

 問題に図がないので、自分で作図しましょう。

 

 (1)まず、点Rの動きについて調べてみましょう。

点Pが秒速6cmでAB間を、点Qが秒速15cmでAD間を移動し、

点Rは最初頂点Aと重なり、下の図1のように、

 1秒後、点PはAから6cm、点QはAから15cm、点Rは①に、

 2秒後、点PはAから12cm、点Qは頂点Dに、点Rは②に、

 3秒後、点PはAから18cm、点QはAから15cm、点Rは③に、

 4秒後、点PはAから24cm、点Qは頂点Aに、点Rは④に、

 5秒後、点Pは頂点Bに、点QはAから15cm、点Rは⑤に

移動します。

 Pic_2430a_3

次に、⑤の位置から、下の図2のように

 Pic_2431a_2

 6秒後、点PはBから6cm、点Qは頂点Dに、点Rは⑥に、

 7秒後、点PはBから12cm、点QはAから15cm、点Rは③に、

 8秒後、点PはBから18cm、点Qは頂点Aに、点Rは⑦に、

 9秒後、点PはBから24cm、点QはAから15cm、点Rは①に、

 10秒後、点Pは頂点Aに、点Qは頂点Dに、点Rは頂点Dに

移動します。

 

そして、頂点Dにきた点Rは、図2の矢印を逆にたどって

頂点Aへ戻っていきます。

 

よって、点Rが動いた線によって囲まれる図形は、

下の図3の青い部分で、

 Pic_2432a

求める面積は、

   12×15÷2×4=360c㎡ です。

 

 (2)点Qの速さが秒速20cmのとき、点Rの動きについて

(1)と同様に調べてみると、頂点Aを出発して5秒後までは、

下の図4のように動きます。

 Pic_2433a

さらに、10秒後までは下の図5のように、⑥→⑦→②→⑧→⑨

と動き、

 Pic_2434a

15秒後までは、下の図6のように、⑨→①→⑩→⑦→④→頂点B

の順に動きます。

 Pic_2435a

図6以降は、図6の矢印を逆向きに、頂点Aまで戻ります。

 

よって、求める面積は、下の図7の色のついた部分で、

 Pic_2436a

黄色い三角形18個分なので、

   (6×10÷2)×18個=540c㎡ です。

 

 

 甲陽学院中学の他の問題は → こちら

 甲陽学院中学の過去問題集は → こちら

 

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