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2011年9月30日 (金)

点の移動 第27問 (栄東中学 2010年(平成22年度) 中学受験問題 算数)

 

問題 (栄東中学 2010年 中学受験問題 算数) 

     難易度★★★★

 

 下の図のように、半径6cm、4cm、2cmの半円を3つ

組み合わせてできた図形があり、半径6cmの半円の

中心をO,その直径の両端をA,B とします。

    Pic_2504q

いま、点P,Qは点A を、点R は点Bをそれぞれ同時に出発し、

矢印の方向に一定の速さで動きます。点Pは半径1cmの円周上を

ちょうど1周するのに1秒かかる速さで動き、点Qは点Pの1/2の

速さで、点R は点P の2/7 倍の速さで動きます。このとき、次の

問に答えなさい。

 

(1)点P と点R が初めて出会うのは、出発してから何秒後ですか。

(2)点P と点R が初めて出会う点をD、そのときの点Qの位置を

   E とするとき、角DOE の大きさを求めなさい。

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解答

 (1)P,Q,R が1秒間に動くキョリ(速さ)を求めると、

点P の速さは、2×3.14=6.28cm です。

点Q の速さは、点Pの1/2 なので、3.14cm です。

点R の速さは、点Pの2/7 なので、4/7 × 3.14cm です。

 

点P と点R は最初に

    8×3.14×180/360 + 4×3.14×180/360

    =6×3.14 cm はなれているので、

点P と点R が初めて出会うのは、

   6×3.14÷(2×3.14+4/7 ×3.14)

 =6×3.14÷ (18/7 ×3.14)

 =6×7/18

 =7/3=2と1/3秒後 です。

 

 (2)7/3秒で、

点P は 2×3.14×7/3=14/3 ×3.14cm 進みます。

点Q は、7/3 ×3.14cm 進みます。

点R は、7/3 ×4/7 ×3.14=4/3 ×3.14cm 進みます。

 

半径2cmの半円の弧の長さが、2×3.14cm

半径6cmの半円の弧の長さが、6×3.14cm なので、

下の図1のように、点D は半径2cmの半円上の半分よりO側、

点E は半径6cmの半円上の半分手前、の辺りとわかります。

    Pic_2505a

半径2cmの半円の中心を点S、半径2cmの半円と半径4cmの

半円の交点を点T とします。

 

角DOE を求めるにあたり、角AOE,角BSD が何度か求めると、

点Qの移動したキョリ=7/3 ×3.14 より、

  6×2×3.14×角AOE/360=7/3×3.14 なので、

  角AOE =70度 とわかります。

点Rの移動したキョリ=4/3 ×3.14 より、

  2×2×3.14×角BSD/360=4/3×3.14 なので、

  角BSD =120度 とわかります。

  

よって、下の図2のように、角DST =60度 で、三角形DST は

二等辺三角形より、正三角形とわかり、ST=TD=DS です。

Pic_2506a

ここで、OT=TS=2cm なので、三角形DOT は二等辺三角形

ということになり、角DTO=120度 より、角DOT=30度 です。

 

よって、角DOE =180度-(角AOE + 角DOT)

          =180-(70+30)

          =80度 と求められます。

 

 

 栄東中学の過去問題集は → こちら

 栄東中学の他の問題は → こちら

 

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