計算問題 第５９問 （約束記号） （鎌倉学園中学 2009年（平成21年度） 入試問題 算数）

問題　（鎌倉学園中学　2007年　入試問題　算数）　難易度★★★

　各位の数をそれぞれ２回かけて足すことを、[　Ａ　] と定めます。

たとえば、[　１３　]　＝　１×１　＋　３×３　＝　１０ です。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）[　１４２　] の値を求めなさい。

（２）[　[　３５２　]　＋　[　２５　]　] の値を求めなさい。

（３）[　[　Ａ　]　]　＝ ２６ となる最も小さい３桁のＡはいくつですか。

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解答

　（１）[　１４２　]　＝　１×１　＋　４×４　＋　２×２　＝　２１ です。

　（２）[　[　３５２　]　＋　[　２５　]　]

＝[　３×３　＋　５×５　＋　２×２　＋　２×２　＋　５×５　]

＝[　６７　]　＝　６×６　＋　７×７　＝８５ です。

　（３）２６＝○×○　＋　□×□　＋　△×△　＋　・・・　

のように、同じ数をかけたものの和となっている必要があります。

２６＝１×１＋５×５

　　＝１×１＋３×３＋４×４

　　＝３×３＋３×３＋２×２＋２×２

などで表すことができます。

Ａ が３ケタなので、[　Ａ　]　は、最大でも

　　[　９９９　]　＝８１×３＝２４３ ・・・　★　なので、

２６は２つ、または　３つの数同士をかけたものの和として

表されます。

よって、考えられる候補は、

　２６＝１×１＋５×５　・・・　①

　　　＝１×１＋３×３＋４×４ ・・・　②　の２つです。

①のとき、

　[　Ａ　]　＝　１５　または　５１ です。

　[　Ａ　]　＝　１５ とすると、

　　　 １５を１，４，９ の和で表さねばなりませんが、作れません。

　[　Ａ　]　＝　５１ とすると、

　　　　５１を１，４，９，１６，２５，３６，４９ で表さねばなりません。

　すると、５１＝１＋１＋４９ となり、最も小さいＡ として「１１７」が

　当てはまります。これ以上小さいＡは、[　Ａ　]＝５１のときは

　作れません。

②のとき、[　Ａ　]　＝　１３４，１４３，３１４，３４１，４１３，４３１ の

６通りが考えられますが、最大でも　[　９９９　]　＝２４３ なので

[　Ａ　]　＝　１３４ または １４３ です。

[　Ａ　]　＝１３４ のときと、１４３ のとき、Ａ として「１１７」より小さい

ものが考えられるかというと、考えられません。

　（　[　１１□　]　＝　１３４ または １４３ となる□は無い）　

よって、最も小さい３ケタのＡ は、１１７ です。

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