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2011年8月12日 (金)

計算問題 第57問 (約束記号) (本郷中学 2011年(平成23年度) 算数入試問題)

 

問題 (本郷中学 2011年 算数入試問題) 難易度★★★★

 ある整数AをB回かけた数の1の位の数を<A,B>と書くことに

します。たとえば、3×3×3×3=81 なので、<3,4>=1 です。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1) <<2,2>,3> を求めなさい。

(2) Xは1以上2011以下の整数とします。<7,X>=3 となる

   整数は何個ありますか。

(3)Yは1以上2011以下の整数とします。

   <4,Y>+<Y,4>=9 となる整数 Y をすべて足し

   合わせるといくらになりますか。

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解答

 (1)<2,2>=2×2=4 です。

    <4,3>=4×4×4=64 の1の位なので、4 です。

よって、<<2,2>,3>=4 です。

 

 (2)7を何回かけると、1の位が3になるかを調べます。

<7,1>=7

7×7の1の位=9

7×7×7の1の位=9×7の1の位=

7×7×7×7の1の位=3×7の1の位=1

7×7×7×7×7の1の位=1×7の1の位=7

となるので、7を何回かかけたときの1の位の数は、

     7→9→3→1→7→9→3→1→7→・・・

とくり返すことがわかります。

 

よって、2011までの中に、この条件を満たす整数Xは、

      2011÷4=502あまり3 で、3番目に「3」があるので、

502+1=503個 あることになります。

 

 (3)4を何回かかけ続けたときの周期について調べると、

4→6→4→6→4→6→・・・と、奇数回では「4」、偶数回では「6」

ということをくり返すことがわかります。

すなわち、<4,Y>+<Y,4>=9 になるには、

  4+<Y(奇数),4>=9 または 6+<Y(偶数),4>=9

なので、

  <Y(奇数),4>=5 または <Y(偶数),4>=3

であることが必要です。

ここで、偶数は何回かけても1の位が3になることは、ありえません。

よって、奇数について調べればよいことになります。

 

4回かけて、1の位が5になるためには、

 Yの1の位が「5」であることが直感でわかると思います。

 

ある整数Yの1の位について、

1の位が1のとき、<Y,4>=1 → <Y(奇数),4>=5 と不適

1の位が3のとき、<Y,4>=1 → <Y(奇数),4>=5 と不適

1の位が5のとき、<Y,4>=5 → ○

1の位が7のとき、<Y,4>=1 → <Y(奇数),4>=5 と不適

1の位が9のとき、<Y,4>=1 → <Y(奇数),4>=5 と不適

 

以上のことからも、Yは5の倍数ならばよいことになります。

 

よって、<4,Y>+<Y,4>=9 となる整数 Y をすべて足し

合わせると、

  5+15+25+35+・・・+2005 までの201個の和で、

=(5+2005)×201÷2

202005 となります。

  

 

 本郷中学の過去問題集は → こちら

 本郷中学の他の問題は → こちら

 

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