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2011年8月 2日 (火)

点の移動 第23問 (四天王寺中学 2010年(平成22年度) 入試問題 算数)

 

問題 (四天王寺中学 2010年 入試問題 算数) 難易度★★★

 

1秒間に右へ5cm、下へ3cmの割合で動く点P があります。

この点Pが長方形ABCDの頂点A から出発します。ただし、

点Pが1秒間に右へ5cm、下へ3cmの割合で動くとは、下の

図の矢印の道筋を1秒間に進むことです。

       Pic_2398a

(1)点Pが頂点Aを出発してから5秒後に頂点Cに着いたとき、

   長方形ABCD の面積は何c㎡ ですか。

 

(2)点Pが頂点Aを出発してから10秒後に、動きが1秒間に

   右へ5cm、下へ6cmの割合に変わりました。その10秒後に

   点Pは頂点Cに着きました。このとき、長方形ABCD内で

   点Pが通った道筋と辺AB,BCによって囲まれる図形の

   面積を求めなさい。 

 

(3)点Pが頂点Aを出発してから8秒後に、動きが1秒間に右へ

   7cm、下へ3cmの割合に変わり、その8秒後に、動きが

   1秒間に右へ7cm、下へ5cmの割合に変わりました。その

   8秒後に点Pは頂点Cに着き、すぐに1秒間に左へ6cm、

   上へ4cmの割合で動き始めました。このあと、点Pが頂点C

   から動き始めて 【 ア 】秒後に、動きが1秒間に左へ8cm、

   上へ4cmの割合に変わったので、点Pは頂点Cを出発して

   【 イ 】秒後に頂点Aにもどりました。

   【 ア 】、【 イ 】にあてはまる数を答えなさい。

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解答

 (1)点Pが5秒後に頂点Cに着いたとき、点Pは頂点Aから

右へ 5×5=25cm、下へ 3×5=15cm 進んだことになり、

AB=15cm、AD=25cm ということになるので、長方形の

面積は、 15×25=375c㎡ です。

 

 (2)点Pが頂点Aを出発して10秒後にいるところを点E とします。

10秒間に、点Pは右へ50cm、下へ30cm進み、頂点Aから下へ

30cmのところを点F とします。 

 点E から10秒間、右へ5cm、下へ6cmの割合で進んで頂点C

に着くので、点Pの進み方は、下の図1のようになります。

    Pic_2399a

点Pが通った道筋と辺AB,BCによって囲まれる図形は、

三角形AEF,台形BCEF を合わせたものなので、面積は

  30×50÷2+(50+100)×60÷2=5250c㎡ です。

 

 (3)点Pが頂点Aから頂点Cへ移動するまでに、

     右へ 5×8+7×8+7×8=152cm

     下へ 3×8+3×8+5×8=88cm

移動しているので、長方形ABCD のAB=88cm、AD=152cm

ということがわかります。

 

頂点Cから点Pが、【ア】秒間、左へ6cm、上へ4cm、の割合で

進み、そのときの位置を点G とします。その後、左へ8cm、上へ

4cmの割合で進み頂点Aに戻るので、下の図2のように描くことが

できます。

   Pic_2400a

点Pは頂点Cから頂点Aまで、ずっと上へ4cmの割合で進むので、

   88÷4=22秒で頂点Aにもどることがわかります 【イ】

 

【ア】の時間は、下の図3のような「つるかめ算」で求められます。

 Pic_2401a

左へ6cmで進んだ時間は、

   (8×22-152)÷(8-6)=12秒間 です 【ア】

 

よって、【 ア 】=12、【 イ 】=22 です。

 

 

 四天王寺中学の過去問題集は → こちら

 四天王寺中学の他の問題は → こちら

 

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