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2011年8月 1日 (月)

積み木の問題 第20問 (江戸川学園取手中学 2009年(平成21年度) 受験問題 算数)

 

問題 (江戸川学園取手中学 2009年 受験問題 算数) 

     難易度★★★

 

 下の図のように1辺1cmの立方体を積み重ねます。

   Pic_1594q

(1)5段まで積み重ねたときの立体の表面積を求めなさい。

(2)10段まで積み重ねたとき、立方体は何個ありますか。

(3)20段まで積み重ねたとき、どの方向からも見えない立方体は

   何個ありますか。ただし、底面からは見ないこととします。

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解答

 (1)5段まで立方体を積み重ねると、下の図1のように見えます。

      Pic_1595a

前後、左右の面の面積は、

 1+2+3+4+5=15c㎡

上下の面の面積は、

 5×5=25c㎡

よって、立体の表面積は、

 15×4+25×2=110c㎡ です。

 

 

 (2)10段目まで積み重ねると、

1段目・・・1個

2段目・・・2×2=4個

3段目・・・3×3=9個

4段目・・・4×4=16個

・・・・・

10段目・・・10×10=100個

 

よって、立方体の数は、

 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100

385個 となります。

 

 

 (3)どの方向からも見えない立方体は、下の図2のように

3段目に1個現れ、4段目に2×2=4個現れます。

 Pic_1596a

20段目には、1辺20個の立方体があるので、見えない立方体は

 (20-2)×(20-2)=18×18=324個 あり、

合計すると、

 1+4+9+・・・+100+121+144+169+196

  +225+256+289+324

=385+121+144+・・・+324

2109個 となります。

 

 

 【関連問題

 積み木の問題 (城北中学 2006年)

 

 江戸川学園取手中学の過去問題集は → こちら

 江戸川学園取手中学の他の問題は → こちら

 

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