和と差 第２１問 ゲームの点数 （奈良学園中学 2011年、雙葉中学 2011年、東大寺学園中学 2009年、豊島岡女子学園中学 2011年 入試問題 算数）
問題 （奈良学園中学 2011年、雙葉中学 2011年、
東大寺学園中学 2009年、豊島岡女子学園中学 2011年
入試問題 算数） 難易度★★★
（１）Ａ さんと Ｂ さんが１００歩離れて向かい合って立っています。
いま、２人がジャンケンをして、勝った人は２歩前進し、負けた
人は１歩後退し、引き分けのときは２人とも２歩前進することに
しました。５２回ジャンケンをしたら、Ａ さんは最初の位置から
６２歩前進した地点に Ｂ さんと共に立っていました。このとき、
次の問に答えなさい。ただし、２人の歩幅は同じものとします。
【１】 ５２回のうち、引き分けは何回ありましたか。
【２】 ５２回のうち、Ａ さんは何回勝ちましたか。
（2011年 奈良学園中学）
（２）春子と夏子がゲームをしています。１回ごとに勝った人に
持ち点を１０点加え、負けた人の持ち点からは４点を引きます。
このとき、次の問に答えなさい。
【１】 ２人とも最初の持ち点が１９０点でゲームを始め、１８回
ゲームをしたとき、春子が３００点になりました。
春子は何勝何敗ですか。
【２】 ２人とも最初の持ち点が３１０点でゲームを始めました。
夏子が６００点になったとき、夏子の勝った回数は、負けた
回数より８回多くなりました。夏子は何勝何敗ですか。
（2011年 雙葉中学）
（３）Ａ、Ｂの２人が初めにそれぞれ持ち点３０点を持って
じゃんけんをします。勝つと持ち点に５点を加え、負けると
持ち点から３点を引きます。１０回じゃんけんをしたところ、
あいこには一度もならず、Ａの持ち点はＢの持ち点より
１６点高くなりました。このとき、Ａは１０回中何回勝ちましたか。
（2009年 東大寺学園中学）
（４）豊子さんと花子さんが、ある階段で次のようなゲームを
しました。じゃんけんをして、勝った方は３段上がり、負けた
方は１段降り、あいこのときは２人とも１段上がる。最初、
２人は同じ段に立ち、このゲームを始めました。このとき、
次の問に答えなさい。
【１】 何回かじゃんけんをした後、花子さんは豊子さんより
１２段高いところにいました。花子さんは豊子さんより
何回多く勝ちましたか。
【２】 １２回じゃんけんをした後、豊子さんは最初に立っていた
段から２２段上がったところにいました。このとき、豊子
さんは何回勝ちましたか。考えられる回数をすべて答え
なさい。
（豊島岡女子学園中学 2011年）
-----------------------------------------------
-----------------------------------------------
解答
（１）そもそも 「１００歩離れて立っている」とは、
どういう状態を表しているのかを、まず理解しましょう。
たとえば、「２歩離れて立っている」とは、下の図１のように
おたがい１歩ずつ離れて立っていることになります。
すなわち、最初の立ち位置から、それぞれ何歩進んだかを
合計すると、離れている歩数になると理解できます。
さて、Ａ さんと Ｂ さんが１００歩離れて立っていて、
５２回ジャンケンすると、Ａ さんが最初の位置から
６２歩前進して、Ｂ さんと同じ位置にいるので、
Ｂ さんは、１００－６２＝３８歩 前進したことになります。
５２回のジャンケンで、全部勝つと、５２×２＝１０４歩 前進する
ことになりますが、Ａ さんは ６２歩 前進しただけです。この差の
４２歩を作るのは、【負けると１歩後退する】というルールです。
下の図２のように、１回のジャンケンで、勝ちが負けに変わると
３歩の差ができます。
よって、Ａ さんは５２回のうち、４２÷３＝１４回 負けたことが
わかります。（Ｂ さんが１４回勝ったということですね）
同様に、Ｂ さんは３８歩しか前進していないので、
（１０４－３８）÷３＝２２回 負けたことがわかります。
（Ａ さんが２２回勝ったということですね）
よって、引き分けの回数は、５２－（１４＋２２）＝１６回 です。
（２）【１】１８回のゲームすべてに春子が勝つと、１８×１０＝１８０点
持ち点が増えて、１９０＋１８０＝３７０点になります。
実際は３００点です。
１回のゲームで、勝つと１０点増え、負けると４点減るので、
１回の勝ったゲームが負けゲームになると、１０＋４＝１４点
減ります。
３７０点が３００点になるには、７０点減らなければならないので、
春子さんが負けた回数は、
７０÷１４＝５回
ということがわかります。
よって、春子さんは １３勝５敗 です。
（２）【２】夏子さんが負けた回数を□回とすると、下の図３のように
夏子さんは、□回負け、□回勝ち、さらに８回勝ったことになり、
持ち点は、□×６＋８×１０ （点）増えます。
実際は６００－３１０＝２９０点 増えているので、
□×６＋８×１０＝２９０
なので、□＝２１０÷６＝３５回 とわかります。
よって、夏子さんは３５回負け、３５＋８＝４３回勝ち、
４３勝３５敗 です。
（３）
● １回の勝負で、２人の点数は５＋３＝８点の差がつきます。
● ２回勝負して、１勝１敗のとき、点数は元に戻ります。
最終的に１６点差がついたことから、１６÷８＝２回、
Ａが多く勝ったということです。
合計１０回のじゃんけんなので、残りの１０－２＝８回
については、４勝４敗の結果だったということです。
よって、Ａは４＋２＝６回、勝ったということになります。
（４）【１】１回のじゃんけんで、片方が勝ち、片方が負けると
３＋１＝４段 の差がつきます。花子さんが豊子さんより１２段
高いところにいたということは、花子さんは豊子さんより、
１２÷４＝３回 多く勝ったということになります。
（４）【２】１２回じゃんけんをして、２２段上がったところにいるので
次のように式を作ることができます。
３×○＋１×△－１×□＝２２ で、○＋△＋□＝１２
あとは、○から順番にあてはめていきましょう。
○＝１２、１１、１０、９ のとき → 不可能
○＝８ のとき → △＝１、□＝３ のとき可能
○＝７ のとき → △＝３、□＝２ のとき可能
○＝６ のとき → △＝５、□＝１ のとき可能
○＝５ のとき → △＝７、□＝０ のとき可能
○＝４ のとき → △＝１０必要なので、不可能
○＝３，２，１，０ のとき → 不可能
以上より、豊子さんが勝った回数として考えられる回数は、
５回、６回、７回、８回 です。
奈良学園中学の他の問題は → こちら
雙葉中学の他の問題は → こちら
東大寺学園中学の他の問題は → こちら
豊島岡女子学園中学の他の問題は → こちら
| 固定リンク
コメント